5.4. Математические модели странных аттракторов

Перейдем к рассмотрению некоторых простых математических моделей, позволяющих описывать ряд свойств странного аттрактора.

5.4.а. Модель Лоренца

Эта известная система, исследованная Лоренцем в 1963 году, знаменита в том числе и тем, что была построена задолго до появления понятия странного аттрактора. Она создавалась с целью построить упрощенную модель атмосферной конвекции для решения вопроса о том, возможен ли долгосрочный прогноз погоды. В последующие годы эта система подробно изучалась многими авторами. Большинство полученных результатов собрано в [30].

Рассмотрим слой жидкости постоянной глубины на которую наложен температурный градиент Если все движения параллельны плоскости и однородны в направлении у, то управляющие уравнения движения могут быть представлены в двумерном виде:

где функция тока двумерного движения, т. е. компоненты скорости задаются соотношениями

а — поле температур, характеризующее отклонение от состояния равновесия.

Коэффициенты: гравитационная постоянная, а — коэффициент термического расширения, кинематическая вязкость, k — теплопроводность.

Рэлей нашел, что решения вида

должны возрастать в том случае, если число Рэлея, т. е. величина

будет превышать критическую величину

Минимальное значение достигается при :

Для численного решения задачи требуется проинтегрировать пару двумерных дифференциальных уравнений в частных производных (5.4.1). Это всегда неприятная задача. Альтернативой непосредственному численному интегрированию является разложение функций и в по базисному набору. При этом, задавшись периодическими граничными условиями в обоих направлениях, имеем

Подстановка этих разложений в дифференциальные уравнения в частных производных дает бесконечное число обыкновенных дифференциальных уравнений. Для осуществления интегрирования требуется конечное усечение этого бесконечного набора.

Лоренц (1963) рассмотрел предельное возможное усечение, включив в рассмотрение лишь коэффициенты три (обозначаемый через X), В этом случае с помощью масштабных преобразований можно свести систему к следующей системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений:

где число Прандтля, (нормированное) число Рэлея, геометрический фактор и переменная времени преобразуется как В системе уравнений (5.4.8), обычно называемых уравнениями Лоренца, переменным может быть дана простая физическая интерпретация: X — интенсивность конвекции; У — разность температур между восходящим и нисходящим потоками; отклонение вертикального температурного профиля от линейного.

Изучим некоторые свойства уравнений (5.4.8).

(а) Дивергенция

отрицательна, так как и а положительны. Обозначив элемент объема фазового пространства через представляем сжатие в виде

Таким образом, все траектории ограничиваются в конце концов некоторым предельным многообразием.

(б) Критические точки. Условию

удовлетворяют точки:

(1) , отвечающая состоянию чистой теплопроводности без конвекции;

(2) , соответствующие состоянию стационарной конвекции. Отметим, что такие состояния существуют только при Свойства устойчивости. Линеаризованное преобразование имеет вид

и позволяет сделать следующие выводы об устойчивости критических точек.

(1) : при точка устойчивости, т.е. все собственные значения имеют отрицательную действительную часть; при действительная часть одного из собственных значений становится положительной. Критическая точка неустойчива, и, следовательно, бесконечно малое возмущение может вызвать конвекцию. Отметим, что устойчивость критической точки зависит только от значения числа Рэлея.

(2) : при собственные значения состоят из одного действительного отрицательного корня и пары комплексно сопряженных корней. Можно показать, что эта пара критических точек теряет устойчивость при

При положительных это условие выполняется только в том случае, если

Отметим, что устойчивость этих критических точек зависит уже не только от значения числа Рэлея.

В своей работе [27] Лоренц выбрал следующие значения параметров:

При таком выборе стационарное (конвективное) состояние теряет устойчивость при

и скорость сжатия очень велика.

Сформулируем, что происходит с решениями уравнений Лоренца по мере возрастания

(1) . Начало координат является глобальным притягивающим стационарным решением, и все траектории (соответствующие всем различным начальным условиям) постепенно закручиваются по спирали к началу координат.

(2) . Начало координат теряет устойчивость и в результате бифуркации превращается в пару локальных притягивающих стационарных решений . Фактически все траектории стягиваются либо к С, либо к С. Исключение составляет множество траекторий (меры ноль), остающихся в окрестности начала координат. При начало координат преобразуется в гомоклиническую точку. Дальнейший рост приводит к неразличимости «областей притяжения» в результате чего траектории могут переходить из одной в другую прежде, чем окончательно зафиксироваться.

(3) . Как уже говорилось, это критическое значение, при котором стационарные состояния теряют устойчивость. Однако анализ по Хопфу показал, что при больших значениях существует обратная бифуркация; поэтому предельные точки не превращаются в предельные циклы.

(4) . Траектории, полученные в этом режиме, ведут себя нетривиально. В оригинальной работе [27] Лоренц рассматривал траекторию с начальными условиями ( (малое отклонение от равновесия) при значении При этом значении имеются неустойчивые стационарные состояния . Расчеты Лоренца показали, что после того как некоторые временные колебания затухают, движение становится крайне неупорядоченным. Это является результатом того, что решение, раскручиваясь по спирали в окрестности одной из неподвижных точек (С или С) в течение произвольного периода времени, перепрыгивает затем в окрестность второй неподвижной точки и также некоторое время раскручивается по спирали, а затем перепрыгивает назад и т. д. Такое сочетание движения по спирали (вдоль неустойчивого многообразия) и возврата (вдоль устойчивого многообразия) порождает обсуждавшийся выше механизм растяжений и складываний и приводит к чрезвычайно сложному многообразию, а именно, к странному аттрактору определенного вида. Типичная траектория этого аттрактора показана на рис. 5.16. (Кажущаяся регулярность показанной на рисунке структуры обманчива — аттрактор чрезвычайно сложен.) Спектр мощности траектории существенно непрерывен, что указывает на выраженную хаотичность движения.

Фазовое пространство системы Лоренца трехмерно, и естественно задать вопрос, существует ли способ компактного представления движения аналогичный, возможно, методу поверхности сечения, используемому в случае гамильтоновых систем. После того, как переходные процессы затухают и система «оседает» странный аттрактор, поведение всех индивидуальных переменных как функций времени становится хаотическим. Нужно отдать должное проницательности Лоренца, который изучил последовательные значения максимумов функции достигает максимального значения при движении по спирали в окрестности одной из неподвижных точек С или С (обозначим его через а затем перепрыгивает к другой неподвижной точке и там достигает следующего максимального значения и т.д. Зависимость от имеет вид, показанный на Замечательно, что это одномерное «отображение» содержит существенные черты динамики аттрактора Лоренца. Свойства таких одномерных отображений мы будем подробно изучать в разделе 5.5.

(кликните для просмотра скана)

Природа аттрактора Лоренца изучена очень подробно. Это действительно странный аттрактор, хотя он и не относится к аксиоме А. Отметим, что хотя движение явно становится хаотическим по достижении и 24.74, последовательность событий, приводящих к этому хаосу, не включает в себя никаких периодических режимов, т. е. это не соответствует полному сценарию Рюэля-Тэкенса возникновения турбулентности.

Интересно также, что происходит при очень больших значениях Исследования различных авторов свидетельствуют о существовании чередующихся режимов турбулентности и периодического поведения. При значениях превышающих 28, странный аттрактор превращается в периодический предельный цикл (примерно при . По мере дальнейшего возрастания этот предельный цикл некоторое время сохраняется, но затем превращается снова в странный аттрактор. При еще больших значениях вновь происходит превращение в другой предельный цикл (при . При переходе от предельного цикла к хаотическому режиму наблюдается эффект, называемый перемежаемостью, т. е. «всплески» турбулентности на фоне периодического движения. Эти всплески могут быть различных типов; их подробное обсуждение можно найти в [1]. Заметим в заключение, что насколько такое поведение при больших (т. е. чередование хаотического и периодического режимов) представляет академический интерес, настолько оно делает модель Лоренца нереалистичной, когда речь идет о «реальной» турбулентности.