5.4.б. Варианты модели Лоренца

Одним из основных недостатков модели Лоренца является крайне жесткие условия усечения. Поэтому важно проанализировать, что произойдет по мере добавления других мод. Случай 14 мод в модели Лоренца был изучен Карри [24]. Мы обсудим вкратце основные результаты. Оказалось, что в этом случае существует ряд хорошо различимых режимов. (Следует отметить, что в этой работе определение параметра несколько отличалось от принятого в работе Лоренца; поэтому не следует сопоставлять абсолютные значения.)

(1) . Движение сходится к устойчивой неподвижной точке системы (имеется две такие точки).

(2) . Появляется устойчивый предельный цикл, что указывает на нормальную бифуркацию Хопфа. В окрестности из 44.07 период этого предельного цикла удваивается.

(3) . Имеются весомые подтверждения существования устойчивого двумерно тора.

(4) . Возникает странный аттрактор, очень сильно напоминающий (в подходящей проекции) аттрактор Лоренца.

Хотя сам факт, что в рассматриваемой системе также был найден странный аттрактор, вселяет определенные надежды, нелишне высказать некоторые предостережения. Более систематическое изучение моделей, подобных модели Лоренца, при возрастании числа мод подтверждает, конечно, необычайное богатство динамики. Но при этом самым чувствительным параметром в этом семействе систем оказывается само число мод! Другими словами, по-видимому не существует такого единственного поведения, к которому сходились бы все системы. Это служит сильным аргументом в пользу того, что усечения дифференциальных уравнений в частных

производных, при которых сохраняется небольшое число мод, не могут давать надежной картины «истинного» поведения (каково бы оно ни было), когда физически значимо много пространственных масштабов. Действительно, одно из наиболее активных направлений современных исследований различных дифференциальных уравнений в частных производных посвящено доказательству существования аттракторов конечной размерности; оно известно как теория «инертных многообразий» (см., например, [25]).

Тем не менее простые модели, такие как модель Лоренца, интересны сами по себе вследствие богатства их динамики. В качестве другого интересного примера может служить модель Реслера:

С ростом параметра с движение претерпевает ряд четко фиксируемых бифуркаций удвоения периода, приводящих в конце концов к появлению странного аттрактора (см. рис. 5.18). Другой моделью, демонстрирующей сходное поведение, является осциллятор Дюффинга (1.6.11), рассматривавшийся в главе 1.

Рис. 5.18. Траектории уравнений Росслера (5.4.13), спроецированные на плоскость и соответствующие спектры мощности. Рассчитаны численно при (Воспроизведено, с разрешения, из [23])