Главная > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1.7. Дальнейшие замечания об интегрировании дифференциальных уравнений

Понятие «интегрирования» дифференциального уравнения является, несомненно, весьма тонким. Для большинства рассмотренных до сих пор систем второго порядка существование постоянного первого интеграла (в консервативных случаях это механическая энергия) позволяло понизить на единицу порядок уравнения, сводя тем самым задачу к отысканию решения в «квадратурах». Выражения типа «точное решение» или «аналитическое решение» дифференциального уравнения использовались здесь (равно как и в других работах) весьма произвольно. Вопрос о том, что подразумевается под этими удобными выражениями, безусловно не является неуместным. В конце концов, можно ли было до появления эллиптических функций не считать неразрешимыми простые нелинейные дифференциальные уравнения кубического осциллятора или маятника? Правомерен вопрос, что происходит «за пределами» эллиптических функций, скажем, с уравнениями типа (1.2.4), когда показатель степени при больше 3. В этом случае, по крайней мере, еще существует интеграл движения (энергия), позволяющий перейти к квадратурам — такие интегралы называются гиперэмипттескими интегралами. Обращение, однако, становится в этом случае гораздо более сложным, и в игру вступают многие результаты из алгебраической геометрии.

В случае неконсервативных систем второго порядка вопрос об «интегрировании» становится более запутанным. В некоторых случаях, обсуждавшихся в разделе 1.5, возможно было отыскать зависящий от времени интеграл, который позволял понизить порядок. Но это, как легко понять, были весьма специальные случаи. Затруднения иного рода связаны с системами уравнений типа

известными как уравнения Пенлеве первого и второго типов соответственно. Для них неизвестны первые интегралы, и они не могут быть «проинтегрированы в квадратурах». И хотя очевидно, что уравнения, подобные этим, имеют «решения», нетривиальным и спорным остается вопрос, в какой степени эти решения могут быть представлены «аналитически» — в противоположность численному результату.

Фактором, существенным при обсуждении этого вопроса, является аналитическая структура решения, т. е. поведение решения в комплексной плоскости. К счастью, целый ряд важных свойств, таких как возможные сингулярности решения, может быть определен непосредственно по виду уравнений движения, без обращения к точному решению (которое мы, естественно, можем и «не знать»). Может быть и так, что аналитическая структура особенно «проста» и соответствующее уравнение оказывается в некотором смысле «интегрируемым». Эта возможность будет обсуждаться в главе 8.

Может быть вопрос интегрируемости автономных систем второго порядка в определенном смысле довольно академичен. В этих случаях движение всегда ограничено двумерной фазовой плоскостью и никогда не проявляет сколь-нибудь сложного или хаотического поведения. Когда фазовое пространство приобретает третье измерение (или более), что может иметь место в случае неавтономных систем второго порядка или в случае автономных систем третьего порядка, вопрос об интегрируемости становится гораздо более содержательным вследствие возможности хаотического поведения. Здесь важную роль приобретает существование «интегралов движения», поскольку они, как мы видели, налагают геометрические ограничения на фазовый поток. Рассмотрим следующую автономную систему третьего порядка:

Прежде всего заметим, из (1.7.3а) и (1.7.3в) следует, что Это позволяет найти (постоянный) интеграл движения

и мы видим, таким образом, что траектории в трехмерном фазовом пространстве ограничены поверхностью, определяемой уравнением (1.7.4). С помощью этого интеграла систему третьего порядка (1.7.3) можно свести к системе второго порядка

Эта система второго порядка в свою очередь может быть сведена к системе первого порядка с помощью второго интеграла

который также можно рассматривать как (другое) геометрическое ограничение на фазовый поток. Уравнение (1.7.6) можно проинтегрировать в терминах эллиптических функций Якоби. Таким образом, отыскание двух интегралов позволило

свести решение исходной системы третьего порядка к единственной «квадратуре» — в этом смысле можно считать, что система «проинтегрирована полностью».

Теперь рассмотрим систему

где а и постоянные. В этом случае оказывается, что при интегралы типа следовательно, не могут быть найдены явным образом — и система, таким образом, не представляется «интегратируемой» (integratable). Таким образом, без численного анализа не ясно, в какой именно области трехмерного фазового пространства может «блуждать» решение.

Простые (и тщательно подобранные!) примеры (1.7.3) и (1.7.7) порождают много фундаментальных вопросов. Первый из них — каким образом находить интегралы движения (если они существуют?). По мере того, как порядок уравнений возрастает, а их функциональный вид усложняется, эта задача становится очень сложной. Действительно, не существует сколь-нибудь систематической процедуры для ее решения — приходится полагаться на опыт, на удачу и, в безнадежных ситуациях, на провидение! Может оказаться, как это вытекает из одной блестящей работы русского математика Софьи Ковалевской, написанной сто лет назад, что существование интегралов может быть связано с аналитической структурой дифференциальных уравнений. Другой фундаментальный вопрос состоит в том, какое именно число интегралов необходимо, чтобы поэтапно осуществить полное «интегрирование». Именно здесь важно отличать различные классы динамических систем. Для гамильтоновых систем (к которым (1.7.3) и (1.7.7) не относятся) имеется ряд весьма сильных результатов. Как будет показано в следующей главе, если система имеет столько же интегралов сколько степеней свободы (что составляет половину размерности фазового пространства), то она может быть «проинтегрирована в квадратурах». Коротко говоря, это является следствием очень специальных геометрических свойств гамильтониана — интегралов достаточно для ограничения потока в определенном направлении, допускающем последующую параметризацию в специальной системе координат, что приводит к тривиальному интегрированию. В случае негамильтоновых систем ситуация не столь благоприятна. Для того, чтобы осуществить полное интегрирование системы порядка необходимо иметь интеграл.

1
Оглавление
email@scask.ru