1.7. Дальнейшие замечания об интегрировании дифференциальных уравнений

Понятие «интегрирования» дифференциального уравнения является, несомненно, весьма тонким. Для большинства рассмотренных до сих пор систем второго порядка существование постоянного первого интеграла (в консервативных случаях это механическая энергия) позволяло понизить на единицу порядок уравнения, сводя тем самым задачу к отысканию решения в «квадратурах». Выражения типа «точное решение» или «аналитическое решение» дифференциального уравнения использовались здесь (равно как и в других работах) весьма произвольно. Вопрос о том, что подразумевается под этими удобными выражениями, безусловно не является неуместным. В конце концов, можно ли было до появления эллиптических функций не считать неразрешимыми простые нелинейные дифференциальные уравнения кубического осциллятора или маятника? Правомерен вопрос, что происходит «за пределами» эллиптических функций, скажем, с уравнениями типа (1.2.4), когда показатель степени при больше 3. В этом случае, по крайней мере, еще существует интеграл движения (энергия), позволяющий перейти к квадратурам — такие интегралы называются гиперэмипттескими интегралами. Обращение, однако, становится в этом случае гораздо более сложным, и в игру вступают многие результаты из алгебраической геометрии.

В случае неконсервативных систем второго порядка вопрос об «интегрировании» становится более запутанным. В некоторых случаях, обсуждавшихся в разделе 1.5, возможно было отыскать зависящий от времени интеграл, который позволял понизить порядок. Но это, как легко понять, были весьма специальные случаи. Затруднения иного рода связаны с системами уравнений типа

известными как уравнения Пенлеве первого и второго типов соответственно. Для них неизвестны первые интегралы, и они не могут быть «проинтегрированы в квадратурах». И хотя очевидно, что уравнения, подобные этим, имеют «решения», нетривиальным и спорным остается вопрос, в какой степени эти решения могут быть представлены «аналитически» — в противоположность численному результату.

Фактором, существенным при обсуждении этого вопроса, является аналитическая структура решения, т. е. поведение решения в комплексной плоскости. К счастью, целый ряд важных свойств, таких как возможные сингулярности решения, может быть определен непосредственно по виду уравнений движения, без обращения к точному решению (которое мы, естественно, можем и «не знать»). Может быть и так, что аналитическая структура особенно «проста» и соответствующее уравнение оказывается в некотором смысле «интегрируемым». Эта возможность будет обсуждаться в главе 8.

Может быть вопрос интегрируемости автономных систем второго порядка в определенном смысле довольно академичен. В этих случаях движение всегда ограничено двумерной фазовой плоскостью и никогда не проявляет сколь-нибудь сложного или хаотического поведения. Когда фазовое пространство приобретает третье измерение (или более), что может иметь место в случае неавтономных систем второго порядка или в случае автономных систем третьего порядка, вопрос об интегрируемости становится гораздо более содержательным вследствие возможности хаотического поведения. Здесь важную роль приобретает существование «интегралов движения», поскольку они, как мы видели, налагают геометрические ограничения на фазовый поток. Рассмотрим следующую автономную систему третьего порядка:

Прежде всего заметим, из (1.7.3а) и (1.7.3в) следует, что Это позволяет найти (постоянный) интеграл движения

и мы видим, таким образом, что траектории в трехмерном фазовом пространстве ограничены поверхностью, определяемой уравнением (1.7.4). С помощью этого интеграла систему третьего порядка (1.7.3) можно свести к системе второго порядка

Эта система второго порядка в свою очередь может быть сведена к системе первого порядка с помощью второго интеграла

который также можно рассматривать как (другое) геометрическое ограничение на фазовый поток. Уравнение (1.7.6) можно проинтегрировать в терминах эллиптических функций Якоби. Таким образом, отыскание двух интегралов позволило

свести решение исходной системы третьего порядка к единственной «квадратуре» — в этом смысле можно считать, что система «проинтегрирована полностью».

Теперь рассмотрим систему

где а и постоянные. В этом случае оказывается, что при интегралы типа следовательно, не могут быть найдены явным образом — и система, таким образом, не представляется «интегратируемой» (integratable). Таким образом, без численного анализа не ясно, в какой именно области трехмерного фазового пространства может «блуждать» решение.

Простые (и тщательно подобранные!) примеры (1.7.3) и (1.7.7) порождают много фундаментальных вопросов. Первый из них — каким образом находить интегралы движения (если они существуют?). По мере того, как порядок уравнений возрастает, а их функциональный вид усложняется, эта задача становится очень сложной. Действительно, не существует сколь-нибудь систематической процедуры для ее решения — приходится полагаться на опыт, на удачу и, в безнадежных ситуациях, на провидение! Может оказаться, как это вытекает из одной блестящей работы русского математика Софьи Ковалевской, написанной сто лет назад, что существование интегралов может быть связано с аналитической структурой дифференциальных уравнений. Другой фундаментальный вопрос состоит в том, какое именно число интегралов необходимо, чтобы поэтапно осуществить полное «интегрирование». Именно здесь важно отличать различные классы динамических систем. Для гамильтоновых систем (к которым (1.7.3) и (1.7.7) не относятся) имеется ряд весьма сильных результатов. Как будет показано в следующей главе, если система имеет столько же интегралов сколько степеней свободы (что составляет половину размерности фазового пространства), то она может быть «проинтегрирована в квадратурах». Коротко говоря, это является следствием очень специальных геометрических свойств гамильтониана — интегралов достаточно для ограничения потока в определенном направлении, допускающем последующую параметризацию в специальной системе координат, что приводит к тривиальному интегрированию. В случае негамильтоновых систем ситуация не столь благоприятна. Для того, чтобы осуществить полное интегрирование системы порядка необходимо иметь интеграл.