8.4.в. Пара Лакса и преобразования Бэклунда
Рассмотренный выше упрощенный подход является наиболее быстрым способом установления наличия или отсутствия у системы свойства Пенлеве, но с другой стороны полные разложения содержат существенно больший объем дополнительной информации. Если, например, полностью записать рекуррентные соотношения для уравнения КдФ, то получаем
Последнее из этих соотношений означает, что 
произвольна в силу (
. Соотношения для 
гораздо сложнее, но все-таки непротиворечивы. В итоге полный однозначный ряд может быть записан в виде
Анализ рекуррентных соотношений приводит к возможности следующего согласованного усечения разложения (8.4.21):
(1) положить произвольные функции 
равными нулю;
(2) потребовать, чтобы 
(3) потребовать, чтобы 
сама по себе удовлетворяла уравнению КдФ. Нетрудно показать, что если эти три условия выполняются, то
При этом, исходя из (8.4.20) и (8.4.21), получаем систему уравнений
Может показаться, что три из них: 
образуют избыточную систему относительно переменных 
Но на самом деле они полностью
самосогласованы, причем (8.4.23г) является условием разрешимости для (8.4.236) и (8.4.23в). Это можно показать с помощью подстановки
которая преобразует (8.4.236) и (8.4.23в) к виду
Мы получили не что иное, как пару Лакса для уравнения 
Усеченное разложение (8.4.23а) представляет собой так называемое преобразование Бэклунда для уравнения 
Оно дает возможность получать новые решения уравнения КдФ исходя из старых. Так, исходя из односолитонного решения для 
можно найти решение для пары (8.4.25), что дает соответствующие собственные функции рассеяния. Посредством (8.4.24) вычисляем 
и совместно с исходной функцией 
в (8.4.23а) это дает новое — двухсолитонное — решение уравнения КдФ.
Приведенный пример показывает, каким образом разложения вблизи сингулярного многообразия могут быть использованы не только в качестве простого «теста Пенлеве» для у. ч. п., но и для конструктивного метода построения соответствующих пары Лакса и преобразования Бэклунда. Исследования последних лет показали, что эта процедура носит весьма общий характер. Метод может быть распространен и на о. 
для которых также можно определить понятие «пары Лакса». В этом случае нахождение пары Лакса дает интегралы движения и алгебраическую кривую для уравнения.
Список литературы
(см. скан)
