7.4.б. Эволюция данных рассеяния

Уравнение (7.4.17) может быть использовано для вывода «эволюционного» уравнения для нормировочных постоянных В пределе при надлежащем образом стремящихся к нулю и и их, (7.4.17) сводится к

где мы положили для собственной функции По определению

и непосредственная подстановка (7.4.19) в (7.4.18) дает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно

Это уравнение имеет простое решение

где начальное значение представляет собой нормировочную постоянную собственной функции связанного состояния для потенциала .

В непрерывной области приходится снова работать с выражением (7.4.13). Полагая и переходя к пределу мы можем свести его к

Воспользуемся асимптотическим выражением

Непосредственная подстановка в (7.4.22) и выбор приводят к эволюционному уравнению для

Это уравнение имеет решение

где коэффициент отражения для Повторяя то же самое и для предела легко показать, что

и, следовательно,

Мы видим, таким образом, что ожидаемое чудо осуществилось — при деформации в соответствии с уравнением КдФ эволюция данных рассеяния , соответствующих исходному потенциалу определяется простыми линейными уравнениями. Поскольку деформация изоспектральна, Используя (7.4.21) и (7.4.25), мы можем сконструировать соответствующую величину

и, решив (если удастся!) уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко относительно найти из соотношения

В целом эта процедура, называемая обратным преобразованием рассеяния (ОПР), представляет собой косвенную линеаризацию уравнения КдФ и в значительной мере аналогична методу преобразования Фурье. ОПР даже часто называют нелинейным преобразованием Фурье.

Как уже отмечалось выше, проблема в действительности состоит в решении интегрального уравнения относительно На сегодняшний день представляется, что такое уравнение может быть решено в замкнутом виде лишь для тех задач рассеяния, в которых отсутствует отражение, т.е.