1.3. Динамика в фазовой плоскости

До сих пор мы практически не предпринимали попыток наглядно представить себе решения различных обсуждавшихся выше дифференциальных уравнений — за исключением неясной воображаемой картины периодического колебания во времени «определяющей положение переменной» Наиболее ценное описание решения дает изучение его поведения в фазовой плоскости. В ряде случаев, как мы увидим, оно может быть проведено даже без интегрирования уравнений движения. Вернемся к представлению линейной задачи (1.1.1) в виде пары уравнений (1.1.4); две (независимые) переменные определяют пространство, в котором «движется» решение. Это фазовое пространство системы; а поскольку оно (существенно) двумерно, мы также будем использовать термин фазовая плоскость. В случае системы уравнений первого порядка

каждую из переменных можно рассматривать как независимую координату соответствующего -мерного фазового пространства.

Понятие фазового пространства имеет смысл для любой системы дифференциальных уравнений, но, как мы убедимся, в случае систем уравнений, описывающих гамильтонову систему, соответствующее фазовое пространство обладает особенно богатой геометрической структурой. Значение фазовых координат в простом случае (1.1.4)) в любой момент времени полностью определяют состояние системы в этот момент. Как правило, данному решению уравнения движения как функции времени отвечает гладкая кривая в фазовой плоскости. Она называется фазовой траекторией (иногда линией уровня), а движение вдоль траектории — фазовым потоком. Далее, вследствие того, что фундаментальным свойством решений дифференциальных уравнений является их однозначность, различные фазовые траектории не пересекаются. Если множество различных решений (соответствующих различным начальным условиям) изобразить на одной фазовой плоскости, возникает общая картина (иногда весьма сложная) поведения системы. Такую картину, образованную набором фазовых траекторий, часто называют фазовым портретом.

На первый взгляд вовсе не очевидно, в каких областях фазового пространства будут отображены решения уравнений (1.1.4). Наиболее важную роль в этом случае играет существование (постоянного) интеграла движения. В нашем конкретном случае это механическая энергия Понятно, что фазовый поток должен быть ограничен эллипсами, наибольшие и наименьшие оси которых определяются энергией следовательно, начальными условиями и . Эти эллипсы пересекают ось х в точках (которые, естественно, представляют собой классические «точки возврата», используемые в качестве пределов интегрирования в (1.1.12)), и ось у в точках рис. 1.2).

Рис. 1.2. Фазовые траектории обыкновенного гармонического осциллятора (1.1.4)

Таким образом, существование (постоянного) первого интеграла налагает определенную геометрическую связь на фазовый поток, т. е. ограничивает движение в двумерной фазовой плоскости замкнутыми одномерными областями (фазовыми траекториями). Очевидно, начало координат фазовой плоскости, соответствует точке равновесия движения, и фазовый портрет в целом представляет собой набор концентрических эллипсов с центром в этой точке, размер которых увеличивается как гладкая функция энергии.

Напротив, фазовый портрет затухающего линейного осциллятора с трением (1.1.19) существенно отличен. В этом случае нет постоянного первого интеграла, ограничивающего движение. Все решения представляют собой спирали, закручивающиеся вокруг точки равновесия в начале координат (со скоростью, зависящей от коэффициента затухания) (см. рис. 1.3).

В случае нелинейных уравнений (таких как (1.1.13)) с постоянным первым интегралом и ограниченным движением, фазовый портрет снова представляет собой набор концентрических кривых

Рис. 1.3. Фазовая траектория затухающего гармонического осциллятора (1.1.19)

(четвертого порядка в данном случае) с центром в начале координат. Если имеются нелинейности более общего характера, как, например, в (1.2.4), фазовый портрет может усложниться, что зависит от знаков различных коэффициентов. Мы обсудим это вскоре.