ПРИЛОЖЕНИЕ 2.1. Преобразования Лежандра
Кривую (или поверхность) можно представить не только набором точек, но и набором касательных плоскостей, как показано на рис. 2.7 (а). Преобразование Лежандра устанавливает соответствие между этими двумя представлениями. Мы здесь воспользуемся геометрическим построением, предложенным Арнольдом [1].
Рис. 2.7. (а) Кривая 
и связанный с ней набор касательных плоскостей, (б) Построение преобразованной функции Лежандра 
Рассмотрим кривую 
представляющую собой выпуклую функцию, так что
Результатом преобразования Лежандра функции 
является новая функция 
новой переменной 
построенная как показано на рис. 2.7 (б). Мы видим, что 
представляет собой наибольшее расстояние по вертикали между прямой 
е.
Поскольку точка 
определяется условием максимума,
новая переменная 
представляет собой не что иное как наклон функции 
и с учетом того, что 
выпукла, точка 
единственна (при условии, что она существует).
В качестве простой иллюстрации рассмотрим кривую 
задаваемую функцией Гамильтона 
Следуя изложенному алгоритму (в данном случае в плоскости 
, находим, что новая функция (обозначим ее через 
имеет вид
В рассматриваемом случае новая переменная 
так что преобразование Лежандра может быть представлено как
где 
выражается как функция 
посредством соотношения 
Этот пример иллюстрирует общий классический результат:
и
где 
выражаются как функции 
посредством соотношения
выражаются как функции 
посредством соотношения
Для того, чтобы оба преобразования были однозначны, 
должны быть выпуклыми функциями 
соответственно (ср. (2.2.3)).
