5.3. Теоретические представления о возникновении турбулентности

В этом разделе мы обсудим ряд теорий, а также связанных с ними понятий, которые были разработаны для объяснения возникновения турбулентности, наблюдаемого, например, в описанных экспериментах. Такое обсуждение создает основу для изучения модельных систем, на которых эти теории могут быть опробованы.

5.3.а. Теория Ландау-Хопфа

Эта теория была предложена в начале 1940-х годов. Идея состоит в том, что решение (уравнения Навье-Стокса) квазипериодично, но с ростом числа Рейнольса в нем «появляется» все больше и больше компонент частоты:

или в более общем виде

где

По мере того, как скорость возникновения новых частот увеличивается. Соотношение частот предполагается иррациональным, так что с ростом их числа спектр (быстро) усложняется до такой степени, что становится практически неотличимым от непрерывного спектра истинно хаотического движения.

Мы можем сразу отметить, что такая картина бесконечной квазипериодической «турбулентности» не согласуется с экспериментальными наблюдениями, например, для течения Куэтта и конвекции Рэлея-Бенара. Однако, прежде чем отбросить эту модель, рассмотрим некоторые вытекающие из нее следствия.

Прежде всего, какой смысл можно придать «возникающим» в решении новым частотам? Решение можно представить себе как траекторию в некотором (бесконечномерном) фазовом пространстве. Но, в отличие от фазового пространства гамильтоновых систем, наличие диссипации вызывает сжатие фазового объема. Это означает, что траектория в конце концов окажется в некотором предельном многообразии (имеющем меру ноль во всем фазовом пространстве). Например, в случае линейного осциллятора, колебания которого затухают за счет простого трения, фазовая траектория будет закручиваться по спирали к предельной точке. Если механизм затухания колебаний осциллятора более сложен — например, осциллятор Ван-дер-Поля - траектория будет закручиваться в предельный цикл. Аналогичным образом фазовая траектория, отвечающая определенному состоянию течения жидкости, также будет заканчиваться в некотором предельном многообразии.

Понятно, что в случае единственной частоты решение будет иметь вид простой периодической траектории (предельный цикл). При появлении второй независимой частоты решение располагается на двумерном торе -мерный тор можно определить как произведение независимых периодических циклов). С появлением каждой новой частоты траектория решения переходит на новый тор, размерность которого совпадает с числом независимых частот (см. рис. 5.5). Возникает вопрос: каким образом траектория переходит с одного предельного многообразия на другое, т. е. почему исходное многообразие становится неустойчивым и возникает другое устойчивое многообразие более высокой размерности?

Рис. 5.5. Переход от (а) предельной точки к (б) предельному циклу (одна частота) и к (в) предельному двумерному тору (две частоты)