5.3.б. Теория бифуркации Хопфа

Основные идеи, на которых базируется объяснение такого перехода, возникли в известной теории бифуркации Хопфа. Мы рассмотрим ее вкратце; более полное изложение можно найти в [19]. Предположим, что наши уравнения движения управляются «потоком» вида

где некоторый параметр системы (например, число Рейнольдса). Теорема Хопфа касается устойчивости решений этого уравнения как функции параметра Критическими точками уравнения (5.3.3) являются такие точки в которых

Их устойчивость определяется путем анализа собственных значений соответствующего касательного отображения рассчитанного в критических точках. При условии, что все А располагаются в левой полуплоскости, т. е. все имеют строго отрицательную действительную часть, критическая точка представляет собой простую предельную точку (рис. Бифуркация Хопфа происходит при условии, что комплексно сопряженная пара собственных значений перемещается с ненулевой скоростью из левой полуплоскости в правую, т. е. приобретает положительную действительную часть. Если при критическом значении (значение при котором А перемещается в правую полуплоскость) выполняются определенные достаточно сложные условия, включающие первую, вторую и третью производные от то можно показать, что предельная точка в результате бифуркации переходит в устойчивую периодическую траекторию (предельный цикл), к которой начинают притягиваться все соседние траектории (рис. 5.6(б)).

Рис. 5.6. (а) Траектории, закручивающиеся по спирали к предельной точке, (б) Траектории, закручивающиеся по спирали к устойчивому предельному циклу

Такой переход известен как нормальная бифуркация Хопфа (иногда называемая сверхкритической бифуркацией). Переход от устойчивой предельной точки к устойчивому предельному циклу можно наглядно представить себе (рис. 5.7) с помощью движения частицы в потенциале, у которого с ростом возникает второй минимум.

Рис. 5.7. Схематическое представление нормальной бифуркации Хопфа. Устойчивая предельная точка при в результате перехода через превращается в устойчивый предельный цикл при

Возможна и другая ситуация, при которой при значении не возникает никаких притягивающих (устойчивых) решений. В этом случае нетрудно убедиться, что при существует неустойчивая периодическая траектория, которая по мере того, как проходит постепенно стягивается к неустойчивой предельной точке, как показано на рис. 5.8. Такая ситуация известна как обратная (или субкритическая) бифуркация Хопфа.

Рис. 5.8. Схематическое представление обратной бифуркации Хопфа. Неустойчивый предельный цикл при в результате перехода через стягивается к неустойчивой предельной точке при

Рис. 5.9. Схематическое изображение превращения предельного цикла в двумерный тор

Должно быть понятно, что картина возникновения турбулентности Ландау-Хопфа основана на последовательности нормальных бифуркаций Хопфа. Можно, предполагая нормальные бифуркации, задаться вопросом, каким именно образом осуществляются переходы более высоких порядков (скажем, от периодической траектории к двумерному тору). Наглядно это можно представить себе с помощью рис. 5.9.

Продемонстрировать такое поведение точно не столь просто. На рис. 5.10 движение изображено на отображении Пуанкаре (которое аналогично поверхности сечения Пуанкаре, использовавшейся при изучении гамильтоновых систем). Если бы удалось показать, что на этом отображении имеются устойчивые инвариантные окружности, то это доказывало бы наличие тора. Заметим, что при изучении преобразования на отображении Пуанкаре исходный поток (дифференциальное уравнение) рассматривается как диффеоморфизм (гладкое обратимое отображение). С формальной точки зрения при этом требуется бифуркационная теорема Хопфа для диффеоморфизмов. Такая теорема действительно имеется.

Рис. 5.10. (а) Отображение Пуанкаре предельного цикла представляет собой единственную точку, (б) Когда цикл преобразуется в двумерный тор, на отображении Пуанкаре возникает состоящая из точек окружность

И все-таки, как мы видели в самом начале обсуждения теории Ландау-Хопфа, она не согласуется с экспериментальными наблюдениями. Требуется, очевидно, более совершенная теория. Такой теорией является теория Рюэля-Тэкенса.