1.6.б. Затухающий осциллятор с вынуждающей внешней силой

Вернемся теперь к линейным затухающим колебаниям с вынуждающей внешней силой (1.6.2). В предположении, что однородная задача имеет осциллирующие (но, конечно, затухающие) решения, общее решение неоднородной задачи может быть представлено в виде

где собственная частота Амплитуда а и фаза 6 однородного члена определяются начальными условиями и «внешней» фазой Очевидно, что с ростом однородная часть решения затухает, что в пределе приводит к

и хотя амплитуда движения увеличивается при резонансе она остается ограниченной. Асимптотическое решение (1.6.10) описывает стационарные колебания с постоянной энергией в результате баланса между поступлением энергии в систему за счет внешнего поля и ее рассеивания за счет трения. Это стационарное состояние соответствует простому предельному циклу.

В случае нелинейной затухающей системы с вынуждающей внешней силой, например, осциллятора Дюффинга:

поведение может оказаться гораздо более сложным. При малых вынуждающих силах по-прежнему имеет место поведение типа простого предельного цикла. Однако с ростом наблюдается бифуркация этого цикла в «двойной» предельный цикл с удвоением первоначального периода. При дальнейшем росте бифуркации продолжаются (от удвоенного цикла к учетверенному и так далее) до тех пор, пока движение не становится весьма хаотичным. Этот чрезвычайно сложный апериодичный предельный цикл, заканчивающий ряд бифуркаций, называется странным аттрактором. Такие аттракторы представляют собой механизм, посредством которого диссипативные системы (которые, как это можно себе представить, всегда затухают к некоторому предельному монотонному поведению) имеют возможность проявлять хаотическое поведение. Более подробно эти вопросы будут обсуждаться в главе 5.