4.8. Гамильтонов хаос в гидродинамических системах
До сих пор наше обсуждение хаоса ограничивалось примерами компьютерных расчетов простых модельных систем. При этом мы лишь вскользь коснулись вопроса о том, в каком физическом контексте эти модели могут возникать (нелинейные колебания, ускорители, волноводы, молекулы в полях излучения и т.д.). Вместе с тем понятно, что для читателя гораздо больший интерес могли бы представить «реальные» физические ситуации, в которых можно было бы действительно наблюдать хаос — и быть может даже поверхность сечения — невооруженным глазом. Оказывается, что определенные классы задач динамики текучих сред представляют такую возможность. К их описанию мы и переходим.
4.8.а. Основные положения гидродинамики
Первый шаг состоит в том, чтобы понять различие в интерпретациях гидродинамики Эйлера и Лагранжа. В описании Эйлера поле скоростей жидкости или газа 
(
задается относительно фиксированной системы координат:
где (
находятся (в принципе) путем решения уравнений гидродинамики (см. раздел 5.1) с определенными граничными условиями. Если поле скоростей зависит от времени явным образом, оно называется нестационарным в противоположность не зависящему от времени стационарному полю. С другой стороны, подход Лагранжа предполагает описание траекторий отдельной «частицы» жидкости. Для заданного поля скоростей движение частицы определяется путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
с начальными условиями 
В случае несжимаемой двумерной жидкости имеем
откуда следует, что должен существовать такой точный дифференциал 
что
Функция 
называется функцией тока. В рамках подхода Лагранжа уравнения движения (4.8.2) могут быть записаны в виде
Эти уравнения имеют структуру уравнений Гамильтона: 
играет роль гамильтониана, а х и у — канонических переменных. Подчеркнем, что такая структура определяется условием несжимаемости (4.8.3) и не зависит от наличия у среды вязкости. Таким образом, в двумерном случае траектория частицы может быть представлена динамикой фазовой плоскости (уравнения (4.8.5)).
Точное описание динамики будет, конечно, зависеть от вида 
. В случае стационарных потоков 
не зависит от времени и уравнения (4.8.5) сводятся к автономной системе
Такая система, как мы видели в главе I, полностью интегрируема, и ее траектории в фазовой плоскости 
лежат на гладких кривых (называемых в гидродинамике линиями тока). Вместе с тем мы знаем, что в случае нестационарных потоков (когда 
зависит от времени) имеется возможность хаотического поведения. Для того, чтобы действительно проследить за траекториями частиц жидкости, их необходимо пометить каким-либо «пассивным» образом, т. е. так, чтобы не повлиять на поле скоростей и сохранить справедливость (4.8.5). Как правило этого можно добиться с помощью краски, но на практике при этом происходит, конечно, размывание («пассивное скалярное размывание») окрашенных частиц (окрашиваются преимущественно полоски и капельки, а не индивидуальные частицы). Следовательно, в фазовом пространстве прослеживается эволюция целого семейства траекторий. Деформация такого семейства (линейного элемента или кривой) обсуждалась в разделе 4.4: линейный элемент на плоскости может трансформироваться в одну из двух основных структур, «усы» или «завитки», в соответствии с типом неподвижных точек — гиперболических и эллиптических соответственно. Возникновение усов является проявлением хаоса частиц в жидкости — явление, часто называемое хаотической адвекцией или лагранжевой турбулентностью; второй термин подчеркивает, что хаос рассматривается в терминах лагранжевой интерпретации гидродинамики. (Представления об эйлеровой турбулентности будут кратко обсуждаться в главе 5.) В заключение отметим, что если в двумерном случае для возникновения хаоса требуется нестационарность потока, то в случае трех измерений хаос может возникать в стационарных потоках (уравнения (4.8.2) с не зависящей от времени правой частью).
