3.1.б. Сингулярные ряды возмущений

Теперь рассмотрим многочлен

Это, очевидно, нерегулярная задача, поскольку в пределе нулевого приближения система имеет лишь один корень, тогда как возмущенная задача имеет два. Ситуации, подобные этой, когда предел принципиально отличается даже от поведения соседних (по малому ) систем, называются сингулярными задачами теории возмущений. В этом случае разложение может и не иметь вида степенного ряда,

либо радиус сходимости степенного ряда будет равен нулю. Хотя мы и не будем рассматривать такие случаи для наших задач из области механики, поучительно закончить обсуждение этого примера. Невозмущенная часть имеет, очевидно, корень (нулевое приближение) Сингулярная часть задачи связана со вторым корнем, стремящимся в пределе к бесконечности, что в рассматриваемом случае легко проверить, исходя из точного решения. При этом корень ведет себя в пределе «регулярным» образом, и для него мы можем построить регулярное разложение в ряд Подстановка в (3.1.6) позволяет легко найти коэффициенты ряда, и мы получаем:

Стремление второго корня к бесконечности при предполагает, что он ведет себя как некая обратная степень (т. е. ). Это указывает на целесообразность замены переменных в (3.1.6). Уравновешивая члены в (3.1.6) (это метод «детального баланса», описанный, например, в [3]), мы видим, что единственным приемлемым соотношением является

Это приводит к уравнению

Теперь мы имеем дело с регулярной задачей; корни (нулевые приближения) равны соответственно В этом случае легко могут быть найдены разложения в регулярные ряды вида

Обратный переход к исходной переменной х с помощью соотношения (3.1.8) дает два корня:

Уравнение (3.1.10а) представляет собой не что иное, как регулярный корень (3.1.7), тогда как (3.1.106) — сингулярный корень. В случае этой достаточно простой задачи можно проверить, что (3.1.10а) и (3.1.106) действительно являются корректным представлением точного решения для этого нужно воспользоваться стандартным биномиальным разложением квадратного корня.