4.3.б. Классификация неподвижных точек

Первый случай представляет собой просто вращение,

в окрестности неподвижной точки (0,0). Он, очевидно, соответствует устойчивой или эллиптической неподвижной точке. Мы можем, таким образом, предполагать наличие инвариантных кривых в непосредственной окрестности точки (0,0) (см. рис. 1.10 (в)). (См. также обсуждение КАМ-теоремы в случае точек равновесия в разделе 3.5.)

Во втором случае линеаризованное преобразование имеет вид

что дает гиперболическое движение в окрестности (0,0). Детальное поведение (4.3.11) определяется знаком А.

Случай регулярная гиперболическая неподвижная точка, последовательные итерации (4.3.11) в которой остаются на одной из ветвей гиперболы (см. рис. 4.12 (а)).

Случай гиперболическая с отражением неподвижная точка, при последовательных итерациях (4.3.11) происходят скачки между противолежащими ветвями гиперболы (рис. Это очевидным образом вытекает из того, что

Рис. 4.12. (а) Гиперболическая неподвижная точка, (б) Гиперболическая с отражением неподвижная точка

Рис. 4.13. Параболическая неподвижная точка

Третий случай — особый случай, соответствующий

— лучше всего интерпретируется, если заметить, что в исходных переменных (линеаризованное) преобразование (4.3.4) всегда может быть записано в виде (при выборе

где с — произвольная постоянная, характеризующая перенос параллельно оси х. Такая неподвижная точка известна как параболическая (рис. 4.13). Отметим, что если положить то каждая точка оси х является неподвижной для (4.3.12). Такая ситуация возникает для инвариантных торов или кривых, покрытых замкнутыми траекториями, когда каждая точка кривой (в фазовой плоскости или на поверхности сечения) является неподвижной точкой потока.