2.1.в. Свойства обобщенных импульсов

Обобщенные координаты и скорости рассматриваются в формализме Лагранжа как независимые переменные. В предыдущем разделе мы ввели другой набор переменных — обобщенные импульсы Простая связь между обобщенными импульсами и скоростями в декартовой системе координат создает обманчивое впечатление, что представляют собой не более чем полностью независимый (по отношению к набор переменных. Существующие между ними глубокие различия наиболее полно проявляются при рассмотрении с более геометрической точки зрения. Этот подход оказался столь содержательным и элегантным, что Арнольд [1] охарактеризовал механику Гамильтона (т.е. представление механики в терминах как «геометрию фазового пространства».

С более привычной точки зрения важным свойством отличающим их является возможность представить эти величины как градиент скалярного поля — это является наиболее простой иллюстрацией их коварности. Чтобы убедиться в этом, возвратимся к интегралу действия (2.1.2). Для данного экстремального пути, т.е. пути, удовлетворяющего уравнению (2.1.7), он представляет собой определенный интеграл, т.е. величину действия вдоль пути, соединяющего Можно снова применить вариационный принцип к (2.1.2) — но на этот раз с целью выявить изменение действия для соседних экстремальных путей с общей начальной, но различными конечными точками. Таким образом, теперь варьируется по где представляет собой истинный экстремальный путь, у которого точка фиксирована, а конечная точка изменяется. Вариация дает тот же результат, что и в случае (2.1.5)

но поскольку путь предполагается экстремальным, интеграл обращается в ноль и сохраняется лишь вклад конечных точек. Начальная точка фиксирована, так что обозначая просто через и учитывая, что находим или

для системы с степенями свободы. Из полученного соотношения следует, что представляют собой градиент действия

вдоль данного экстремального пути в данный момент времени. Напротив, в общем случае не могут быть представлены в качестве градиента скалярного поля.