3.4.б. Теоретико-числовые свойства частот

КАМ-теорема может быть сформулирована также следующим образом: «При достаточно малых возмущениях практически все торы сохраняются». Важная и тонкая задача состоит в уточнении выражений «достаточно малый» и «практически все». Второе из них определяется теоретико-числовыми свойствами анализ которых представляет собой один из двух аспектов теоремы. Теорема исключает из рассмотрения торы, характеризуемые рациональным отношением частот, для которых выполняются условий вида

Такие торы в некотором смысле (который мы обсудим позднее) «разрушаются». Уже здесь может сложиться впечатление, что такая логика противоречит отмеченному ранее при обсуждении малых знаменателей факту, что любое иррациональное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным. Это давало бы основание высказать предположение, что в действительности все торы будут разрушены. Именно здесь возникает вопрос о смысле выражения «практически все» и о его взаимосвязи с теоретико-числовой задачей о том, в какой степени иррациональное число может быть приближено рациональным.

В случае системы с двумя степенями свободы условие замкнутости траекторий имеет вид

Для квазипериодического движения отношение частот а иррационально и не может быть представлено точно в виде отношения а лишь приближено сколь угодно точно рациональным числом.

Простым примером рационального приближения для иррационального числа служит приближение числа а именно

что представляет собой очень грубое приближение Для такого приближения получаем

Наилучшее рациональное приближение достигается при использовании цепных дробей.

Числа - могут быть получены следующим образом: это целая часть целая часть от обратной величины целая часть от обратной величины от остатка от д. Например,

Приближения цепной дроби образуют последовательность

Так, последовательными приближениями числа являются:

Последнее из них было известно Тцу-Чанг Чи в Китае еще в пятом веке (и позднее было найдено в шестнадцатом веке европейцем А. ван Роменом). Последовательности сходятся всегда, и последовательные приближения при этом либо больше, либо меньше, чем а. Более того, можно показать, что

т. е. последовательные приближения сходятся по крайней мере как тогда как десятичные приближения — лишь как

Существует замечательная развитая теория цепных дробей. Некоторые числа (такие как трансцендентные числа типа и имеют очень быстро сходящиеся приближения. Наиболее медленно сходятся квадратичные иррациональности; Лагранж показал, что для этого класса чисел цепные дроби периодичны, например,

Знаменитое золотое сечение также является иррациональным числом,

Сказанное далеко не исчерпывает того, что известно о цепных дробях (упомянем, например, представление Они могут также быть использованы для представления функций — Эйлер использовал цепные дроби для отыскания решений уравнения Риккати. (См., например, [6], с. 178.)

Согласно КАМ-теореме сохраняющиеся торы удовлетворяют условию иррациональности

известно только, что при «Разрушающиеся» торы образуют дополнительное множество и удовлетворяют условию

Это более сильное ограничение, чем строгое условие соизмеримости . Вместе с тем оно все еще достаточно для обеспечения конечности меры сохраняющихся торов. Это становится понятным, если рассмотреть единичный интервал и исключить из него зоны шириной как показано на рис. 3.1. Общая протяженность исключенных интервалов составляет

и стремится к нулю при

Рис. 3.1. Исключение зон ширины в рациональных точках единичного интервала

Это лишь грубая оценка (сверху). В действительности любая ширина при обеспечивает конечность меры сохраняющихся торов.