6.6.в. Эволюция классических и квантовых состояний

Изложенные выше результаты позволяют однозначно сопоставлять классическое и квантовое поведение при изучении эволюции квантовых состояний в режиме хаотического движения. Вначале рассмотрим консервативный гамильтониан (6.6.13) с одной степенью свободы. Квантовые стационарные состояния этой системы могут быть рассчитаны (обычно численно) с высокой степенью точности. Кроме того, в квазиклассическом пределе каждому из этих состояний с помощью правила квантования Бора-Зоммерфельда может быть поставлено в соответствие инвариантное многообразие Лагранжа в фазовой плоскости

где собственное значение мы сопоставляем стационарному состоянию Теперь рассмотрим «включение» в момент возмущения Классическое движение определяется в этом случае гамильтонианом (6.6.1). Инвариантные кривые (гамильтониана , определенные соотношением (6.6.14), более не являются инвариантными кривыми для (6.6.1) и приобретают сложное строение, зависящее от структуры (6.6.1) в фазовом пространстве; оно представляет собой усы и завитки, обсуждавшиеся ранее в главе 4. Точно так же стационарные состояния (гамильтониана более не являются стационарными состояниями и теперь их эволюция определяется интегральным уравнением (6.6.12).

Сопоставить (в пределе эволюционирующие многообразия Лагранжа с соответствующими им эволюционирующими квантовыми состояниями можно посредством численного расчета (на каждом шаге времени величины и проекции на ось последняя соответствует грубозернистой (см. раздел 6.4). Проиллюстрируем сказанное некоторыми результатами, взятыми из [36]. В этой работе изучалось отображение

с усредненным гамильтонианом что соответствует простому кубическому осциллятору (ангармоническому осциллятору с потенциалом четвертой степени). Фазовая плоскость отображения (6.6.15) показана на рис. Самая большая кривая, которая изображена также на рис. 6.8 (6), представляет собой инвариантную кривую гамильтониана в выбранных единицах она соответствует, согласно связанному состоянию соответствующей квантовой системы.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 6.9. Классические отображения С, исходного семейства траекторий представленного на рис. 6.8 (б) внешней кривой. Маленький квадратик, отмеченный в имеет «площадь» h. (Воспроизведено, с разрешения, из [36])

На рис. 6.9 показана эволюция этой кривой под действием классического отображения; всего лишь пять итераций приводят к значительной сложности напоминающей гамильтонов хаос в жидкостях, обсуждавшийся в разделе 4.8. В случае ясно видны небольшие завитки, связанные с цепочкой островков, показанной на рис. 6.8, а также длинные тонкие усики, обусловленные прохождением через гиперболические области. Общая спиральная форма, наблюдающаяся уже соответствует «гигантскому» завитку, связанному с вращением относительно центральной неподвижной точки На рис. представлены проекции Всего лишь две итерации приводят к сильному возрастанию числа каустик, что представляется характерной чертой хаотического режима. Сопоставим теперь эти рисунки с результатами квантового отображения (рис. 6.11 (а)). При наблюдается резкий переход от структуры, характеризующейся единообразной величиной осцилляций, к структуре, для которой характерна множественность размеров колебаний.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Проекции соответствующих эволюционирующих кривых дают гладкие огибающие для лишь в случаях Далее с ростом размножающаяся структура каустик и как видно, слабо связаны между собой; и это не удивительно, поскольку каустики теперь группируются в масштабах, меньших, чем характерная длина волны де Бройля. Понятно, что классические особенности (в фазовом пространстве) невозможно разрешить с помощью квантовых волновых функций в масштабе, меньшем, чем Для сопоставления классических проекций и при обе зависимости необходимо сгладить в масштабе Это иллюстрируется последовательностями рисунков на рис. между которыми наблюдается достаточно хорошее соответствие.

Обсуждаемые результаты показывают, что в зависимости от классического режима играет две различные роли. Вначале действительно накладывает квантовую структуру (колебания на гладкий классический фон (начальные кривые и Однако с усложнением классической структуры в ходе эволюции (усы и завитки) на масштабах, меньших, чем начинает играть сглаживающую роль в смысле невозможности «разрешить» такие тонкие структуры. Более подробное обсуждение этих вопросов можно найти в [36]. Квантовые отображения рассматривались также в [37] и [35].