6.2.б. Квантование Бора-Зоммерфельда

Две экспоненты в (6.2.10) всегда можно объединить и получить действительное решение (в классически разрешенной области) вида

где а — определенный фазовый множитель. Можно показать, что решение (6.2.11) гладко сшивается с (экспоненциально затухающим) решением слева от классической точки возврата при условии, что а равняется Таким образом, (6.2.11) переписываем в виде

где мы переобозначили точку поворота через а.

Рассмотрим далее ситуацию, когда движение ограничено двумя классическими точками возврата а и а Волновая функция (6.2.12) может быть также представлена в виде

что можно интерпретировать как вычисление волновой функции на пути от х к (правой) точке возврата и затем от к а. Значение фазы в (6.2.13) иллюстрирует

хорошо известный в геометрической оптике результат — потерю фазы при прохождении через каустику (в данном случае движение «вокруг» точки поворота Волновая функция (6.2.12) была записана по отношению к (левой) точке возврата а; то же самое можно проделать и по отношению к

Для того, чтобы волновая функция была однозначной, выражения (6.2.12) и (6.2.14) должны быть равными; из (6.2.13) легко видеть, что это достигается при условии, что

и что Условие (6.2.15) можно также записать в виде

где означает интегрирование по замкнутому контуру между а и В левой части (6.2.16) читатель, конечно, узнает определение классической переменной действия для одномерного ограниченного движения. Условие (6.2.16), известное как правило квантования Бора-Зоммерфельда, было получено в рамках «старой квантовой теории», в которой классические переменные действия полагались равными целочисленными кратными Слагаемое 1/2 было введено на этом этапе как эмпирическая поправка для согласования с экспериментальными результатами (измеренными спектроскопически уровнями энергии). В ходе дальнейшего развития квантовой механики эта поправка — энергия нулевых колебаний — появилась естественным образом как следствие принципа неопределенности. Здесь мы показали, как эта же поправка возникает в результате потери фазы на каустике в рамках квазиклассических представлений.

В случае одномерных систем соотношение (6.2.16) явным образом определяет квантовые собственные значения

при условии, что интеграл может быть обращен. Для простого гармонического осциллятора (т.е. ) из (6.2.17) легко получаем Это один из тех редких случаев, когда квазиклассические условия квантования в точности совпадают с квантовомеханическим результатом. Такие случаи известны как тождестёа соответствия.