8.2.г. Эллиптические функции и алгебраические кривые
В первой главе мы ввели понятие эллиптической функции и записали дифференциальное уравнение для эллиптических функций Вейерштрасса в стандартном
Ему соответствует квадратура
где факторизована кубическая форма. Корни 
связаны с 
стандартным соотношением (1.2.20). Квадратура (8.2.27) задает 
как бесконечнозначную функцию от х. Обратное соотношение 
представляет собой не что иное как эллиптическую функцию Вейерштрасса. Как уже говорилось в первой главе, 
представляет собой двоякопериодическую функцию комплексной переменной 
особенности которой образуют регулярную решетчатую структуру. Используя описанный выше метод локального анализа, легко показать, что особенности 
являются полюсами второго порядка.
Дальнейшую информацию можно получить, рассматривая подынтегральное выражение (8.2.27) в комплексной х-плоскости. Оно, очевидно, имеет три точки ветвления при 
Если две из этих точек объединить друг с другом, а третью — с точкой на бесконечности, то на комплексной плоскости возникнет два разреза. Стандартная процедура «разрезания и склеивания» показывает, что соответствующая риманова поверхность может быть свернута в двумерный тор с одним отверстием. Мы назовем такую поверхность поверхностью первого рода. Таким образом мы переходим в область алгебраической геометрии. Здесь данной римановой поверхности может быть сопоставлен неприводимый многочлен, который в свою очередь определяет алгебраическую кривую. В случае поверхности первого рода каноническая форма соответствующей кривой имеет вид
Определив 
мы убеждаемся, что эта кривая в точности соответствует уравнению (8.2.26). Кривые типа (8.2.28) называются эллиптическими кривыми. Они обладают тем важным свойством, что координаты 
и 
являются мероморфными функциями некоторого параметра 
Это в точности согласуется с выводами, которые могут быть сделаны на основании нашего локального анализа, согласно которому 
имеет только подвижные полюсы.
Как эллиптические функции Вейерштрасса, так и эллиптические функции Якоби являются мероморфными (по 
функциями и могут быть легко сопоставлены с эллиптическими кривыми. Рассмотрим уравнение (1.2.1), правая часть которого представляет собой многочлен пятой степени; мы обозначим его через 
Локальный анализ показывает, что подвижные особенности в этом случае представляют собой точки ветвления типа квадратного корня. Соответствующая квадратура записывается в этом случае в виде гиперэллиптического интеграла
где 
многочлен шестой степени, получающийся из 
Соответствующая риманова поверхность является поверхностью второго рода — тор с двумя дырками.
Связанная с ней алгебраическая кривая (гиперэллиптическая кривая) уже не может быть параметризована в терминах мероморфных функций. Вместе с тем, как показал Якоби, определенные симметричные комбинации гиперэллиптических интегралов имеют мероморфные обратные функции.
Теория гиперэллиптических интегралов и их обращений может быть представлена в весьма абстрактном виде и обобщена на случай большого числа измерений. Интегралы (8.2.27) и (8.2.29) представляют собой частные случаи так называемых абелевых интегралов.
Связанные с ними римановы поверхности называют абелевыми многообразиями, определенные комбинации переменных, называемые абелевыми функциями, являются мероморфными функциями. В настоящее время представляется, что эти понятия играют фундаментальную роль в определении интегрируемости динамических систем и в объяснении того, почему свойство Пенлеве — впервые использованное Ковалевской, — может служить тестом на интегрируемость.
