1.4.в. Примеры анализа неподвижных точек

Рассмотрим теперь ряд примеров, иллюстрирующих различные типы анализа неподвижных точек. Прежде всего обратимся к нашему давнему знакомому — затухающему линейному осциллятору (1.1.19); у него имеется единственная неподвижная точка Очевидно, нет никакой необходимости линеаризовать эти уравнения, имеющие в матричной форме вид

Нетрудно найти оба собственных значения матрицы М:

В зависимости от относительных значений параметров возможны следующие варианты точек.

• При имеем следовательно, точка (0,0) — устойчивый узел.

• При имеем следовательно, точка (0,0) — устойчивая спираль.

Полагая в убеждаемся, что Отсюда следует, что движение по спирали происходит по часовой стрелке (см. рис. 1.3).

• При имеем следовательно в этом вырожденном случае точка представляет собой несобственный устойчивый узел.

Другой пример, к которому целесообразно возвратиться, это маятник (1.3.1).

Неподвижных точек бесконечно много и линеаризованные уравнения имеют вид

Собственные значения равны При они приобретают значения соответствующие эллиптическим неподвижным точкам, а при собственные значения соответствуют гиперболическим неподвижным точкам.

Рассмотрим теперь случай затухающего маятника:

Неподвижные точки по-прежнему занимают те же положения , но линеаризованные уравнения имеют вид

и им соответствуют собственные значения

В неподвижных точках по-прежнему выполняется соотношение соответствующее гиперболическому поведению. В точках же возникает несколько возможных вариантов.

• - пара комплексно сопряженных собственных значений (с отрицательной действительной частью); соответствующие устойчивому фокусу с (проверьте это) вращением по часовой стрелке (см. рис. 1.12).

• , что приводит к , т. е. это устойчивый узел.

• , здесь мы имеем вырожденный случай соответствующий устойчивому несобственному узлу.

Поскольку в этом случае энергия уже не сохраняется, линии уровня нельзя нарисовать точно, не имея решения в явном виде. Однако идентификация неподвижных точек и локального поведения потоков, включая их направления, позволяют по крайней мере приближенно набросать вполне приемлемый глобальный фазовый портрет.

Особый интерес представляет класс уравнений типа «хищник—жертва», введенный Вольтерра для изучения популяционной динамики. Простым примером таких уравнений может служить следующая система:

Рис. 1.12. Фазовая плоскость затухающего маятника (1.4.10) при

где х может обозначать, например, популяцию кроликов (точнее количество кроликов в популяции), а у — популяцию лис. Возможен следующий, до некоторой степени циничный, сценарий событий. Если популяция кроликов может расти неограниченно, благодаря отсутствию поедающих их лис; однако в обратном случае популяция лис обречена на вымирание из-за отсутствия корма. При сосуществовании обоих видов, имеется возможность баланса этих двух конкурирующих тенденций: лисы сокращают популяцию кроликов и увеличивают свою собственную, находясь при этом под угрозой голодной смерти, если кроликов будет съедено слишком много. Уравнения (1.4.12) представляют собой сильно упрощенную модель этих процессов, которая без труда может быть уточнена с учетом перенаселенности, болезней, умопомешательства и даже появления кроликов-убийц.

Система имеет две неподвижные точки и линеаризованное уравнение

где Для неподвижной точки легко находятся собственные значения (седловая точка), и определение соответствующих собственных векторов приводит к следующему общему решению:

где произвольные константы. Это решение показывает, что входящий поток направлен вниз вдоль оси у, а выходящий — вдоль оси х (в положительном направлении). В случае второй неподвижной точки собственные значения соответствуют эллиптической точке (центру). Полагая в уравнениях движения (1.4.13), находим, что следовательно, движение относительно неподвижной эллиптической точки направлено против часовой стрелки. Отметим, что этот поток согласуется по направлению с потоком в окрестности седловой точки, и в результате может быть построен приближенный (но, конечно, не полный) глобальный фазовый портрет (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Фазовая плоскость, соответствующая системе уравнений (1.4.12)

Несколько более сложный пример представляет собой система

с тремя неподвижными точками и с линеаризованными уравнениями

где Поведение фазового потока вблизи каждой из трех неподвижных точек может быть охарактеризовано следующим образом.

1. Точка характеризуется собственными значениями (гиперболическая точка), и общее решение имеет вид

Следовательно, входящий поток направлен вниз вдоль оси у, а выходящий — вдоль оси х.

2. Точка ( характеризуется собственными значениями (устойчивый фокус). При имеем так что спиральные кривые закручены против часовой стрелки.

3. Точка обладает собственными значениями (гиперболическая точка), а общее решение имеет вид

Следовательно, входящий поток направлен вдоль оси х, а выходящий имеет наклон

Учитывая направления фазовых потоков, связанных с каждой из неподвижных точек, можно изобразить приемлемое приближение глобального фазового портрета (рис. 1.14).

Важно всегда помнить, что анализ устойчивости неподвижных точек основан на линеаризованных уравнениях движения. Вполне возможно, что предсказания,

Рис. 1.14. Фазовая плоскость, соответствующая системе уравнений (1.4.15)

полученные таким образом, не будут соответствовать картине, порождаемой исходными нелинейными уравнениями. Особенно легко разрушаются при нелинейных возмущениях эллиптические точки, найденные в рамках линейного анализа устойчивости. Прекрасный пример этого привели Бендер и Орсзаг [2]. Для системы

линейная теория устойчивости предсказывает существование эллиптической неподвижной точки при у — 0 с вращением против часовой стрелки (покажите это!). На самом деле точное решение нелинейных уравнений показывает, что система обладает неустойчивым фокусом с потоком, исходящим из начала координат. Действительно, умножая (1.4.19а) на а (1.4.196) на у и складывая их, получаем уравнение которое, переходя к полярной координате можно записать в виде

Оно имеет следующее точное решение:

Таким образом, не только подтверждается возрастание радиуса со временем, но к тому же решение неограничено возрастает при критическом значении времени