Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4.6.а. Метод перекрытия резонансовДля того, чтобы понять метод Чирикова, необходимо прежде пояснить, что подразумевается под резонансом. Рассмотрим некоторый интегрируемый гамильтониан Но с
где
где
где
В этом случае возмущенные переменные удовлетворяют уравнениям движения
где
где
где
Таким образом, изолированные резонансы хотя и могут вызывать значительное искажение торов, расположенных в их окрестности, не привносят в систему никакого хаоса. Но одновременное присутствие двух или более резонансов делает систему неинтегрируемой. Более того, если резонансы расположены достаточно близко друг к другу, это приводит, как будет сейчас показано, к возникновению глобального хаоса. Метод резонансов прекрасно проиллюстрировали Уолкер и Форд [27]. Выбрав интегрируемый гамильтониан
и добавив к нему
они изучили влияние этих резонансов на систему. Влияние каждого из резонансов в отдельности, а также их совместное влияние представлены на рис. 4.26. При низких значениях энергии две резонансные зоны четко разделены. С ростом энергии системы эти две зоны перекрываются и возникают «макроскопические зоны неустойчивости». Под этим термином Уолкер и Форд понимают просто ясно наблюдаемое на поверхности сечения рассеяние точек. Размер такой зоны возрастает с ростом энергии. Структура усложняется еще больше с появлением «вторичных» резонансных зон по мере сближения двух основных зон. Авторы сумели посредством численных расчетов предсказать значение энергии, при котором происходит первое перекрывание резонансов, т. е. (успешно) предсказать возникновение глобального хаотического движения. Это позволяет предположить, что перекрывание резонансов играет ключевую роль в возникновении такого движения. С началом перекрывания основных зон в процесс вовлекается также множество резонансов более высокого порядка, и это в определенной мере дает уверенность в том, что в достаточно больших областях фазового пространства торы (в подавляющем большинстве) разрушаются и что возникающий хаос действительно «глобальный», так как траектории получают возможность блуждать между областями, которые раньше были разделены нерезонансными торами.
Рис. 4.26. Поверхность сечения резонансного гамильтониана (4.6.10): (а) в присутствии только Метод, позволяющий приближенно предсказывать начало перекрывания резонансов, был предложен Чириковым [22]. Наилучшие результаты этот метод дает в случае вынужденных одномерных осцилляторов. Модель вынужденного одномерного осциллятора оказывается чрезвычайно полезной при разработке ускорителей, а также при изучении молекулярных связей и атомов в различных полях. Мы рассмотрим одномерный нелинейный осциллятор (например,
Мы знаем, что в случае линейной системы совпадение внешней частоты В нелинейном случае в окрестности
В этом случае соответствующая фаза (и ее гармоники) Вспоминая изучение канонических преобразований в главе 2, введем производящую функцию
где
и
где
Каноническое преобразование гамильтониана к новым переменным дает
Преобразованный гамильтониан имеет практически такой же вид, как исходный (4.6.11). Но в результате этого преобразования наблюдатель как бы помещается во вращающуюся систему, в которой скорость изменения новой фазы определяет медленное отклонение от резонанса. Хотя неравенство
В результате «усредненный» гамильтониан
где мы перешли к действительным числам (полагая
При этом (4.6.19) сводится к
Последний шаг заключается в следующем. Считать, что в области резонанса
Поскольку
где «масса»
«Резонансный» гамильтониан (4.6.23) по форме в точности совпадает с гамильтонианом маятника, сепаратриса которого (см. рис. 4.27) определяется уравнением
В старых переменных
где
Величина
Рис. 4.27. Фазовая плоскость гамильтониана маятника (4.6.23); показана сепаратриса Заметим, что поскольку Важно подчеркнуть, что вывод резонансного гамильтониана (4.6.23) связан с несколькими допущениями. Нерезонансные члены в
где Резонансный гамильтониан (4.6.23) все еще остается интегрируемым, поскольку состоит из единственного изолированного резонанса. «Критерий перекрывания резонансов» Чирикова получается в результате оценивания ширины другого (основного) резонанса и, затем, отыскания такого значения константы связи
где Чириков [22] проверил свой метод для ряда простых систем. Особый интерес представляет система с модельным гамильтонианом
С физической точки зрения она представляет собой ротор (единичной массы), на который действует бесконечная последовательность резонансов или, если представить (4.6.31) в эквивалентном виде
маятник, подверженный серии «толчков» в моменты времени
где
Резонансы возникают при каждом целочисленном значении
Это позволяет предсказать критическое значение параметра возмущения К, при котором происходит перекрывание резонансов; с учетом
получаем
Численный анализ этой системы показывает, что глобальный хаос возникает при Метод Чирикова стимулировал значительную активность исследователей, в результате чего появились его уточненные версии (учитывающие, например, влияние «вторичных» резонансов), которые позволили гораздо точнее предсказывать возникновение глобального хаоса. Метод также применим к автономным системам с большим числом степеней свободы («наибольшую строгость» теория имеет в случае систем с одной степенью свободы в поле внешней силы). Основные идеи при этом сохраняются, но анализ становится более сложным. Дальнейшую информацию по этому вопросу заинтересованный читатель может найти в других источниках.
Рис. 4.28. Резонансы в фазовой плоскости гамильтониана (4.6.32) маятника, подверженного толчкам
|
1 |
Оглавление
|