3.4.а. Суперсходящаяся теория возмущений
Суперсходимость метода Ньютона-Рафсона наглядно иллюстрируется на примере отыскания нуля некоторой функции 
при некотором начальном условии 
Разложение 
в окрестности 
дает
Записав несколько первых членов, получаем
или
Положим 
и запишем ряд таким образом, чтобы разложить 
по степеням 
Таким образом может быть построен «ряд теории возмущений» для отыскания «корня» 
Отметим, что записанный ряд имеет вид 
где все коэффициенты 
являются функциями «невозмущенного» решения: 
где 
Эта конструкция безусловно является регулярным разложением теории возмущений типа введенного в разделе 3.1.а.
Рассмотрим теперь метод Ньютона. Начав с точки 
следующее приближение 
мы находим из
в виде
Далее, используя в качестве исходного приближения Ж],
получаем
Последовательное повторение этой процедуры приводит к соотношению
Сходимость мы можем определить, оценив 
в терминах 
В данном случае
и
Следовательно,
Окончательно получаем
Таким образом, 
Значит, итерации сходятся квадратично, т.е.
где 
Такая замечательная сходимость, принципиально отличающаяся от регулярного приближения теории возмущений, обусловлена тем, что 
на каждом шаге оценивается исходя из предыдущего решения, а не из исходного невозмущенного решения 
Именно эта особенность лежит в основе свойств сходимости КАМ-теоремы.
