2.5.д. Фундаментальные вопросы

Рассмотренный материал подводит нас к некоторым фундаментальным вопросам. До сих пор мы обсуждали только полностью интегрируемые системы, т. е. такие системы, для которых число первых интегралов совпадает с числом степеней свободы. Что изменится, если система не обладает набором из первых интегралов? Этот вопрос можно сформулировать и по-другому: что произойдет с интегрируемой системой при нетривиальном возмущении? Разрушатся ли торы или сохранятся, хотя бы в каком-нибудь «искаженном» виде? Решение этой фундаментальной проблемы составляло основную задачу механики в девятнадцатом и двадцатом столетиях; оно было найдено лишь в начале 1960-х годов. Подробнее мы рассмотрим это в последующих главах.

Другая фундаментальная проблема: каким образом можно установить интегрируема или нет произвольная гамильтонова система? Один из способов ее решения — попытаться определить в явном виде интегралов движения (если они существуют). За исключением особых случаев (например, сепарабельных систем) это как правило неразрешимая задача — чтобы справиться с ней необходимо быть гением или везучим человеком, еще лучше сочетать и то и другое. Эта проблема установления интегрируемости систем до сих пор является предметом научных исследований. Некоторые современные ее аспекты будут рассмотрены в главе 8.