4.7. Статистические понятия сильно хаотических систем

Мы уже несколько раз упоминали понятие эргодичности и в этом разделе обсудим его более подробно наряду с другими относящимися сюда понятиями, полезными для понимания свойств сильно хаотических систем. Прекрасное введение в круг этих идей было дано Лебовицем и Пенроузом [28], а также Заславским и Чириковым [29].

4.7.а. Эргодичность

Простой иллюстрацией эргодичности может служить рассмотренный в разделе 2.5 случай потока на торе с иррациональными частотами. Рассмотрим двумерный тор, поток для которого записывается в виде

где мы ввели переменные имеющие период 1. Такой двумерный тор топологически эквивалентен единичному квадрату с отождествленными сторонами,

и легко показать (как это было сделано выше), что поток эргодичен — и, следовательно, среднее по времени совпадает с фазовым средним — если отношение иррационально. Заметим, что перемещение по тору малого по площади элемента представляет собой (безусловно) лишь его перенос, не сопровождающийся какими-либо искажениями (см. рис. 4.29). Этот пример показывает, что эргодичность не подразумевает хаотического поведения.

Рис. 4.29. Эргодичность на торе: перемещение по тору малого по площади элемента представляет собой параллельный перенос