5.4.в. Отображение Хенона

Проведенный анализ моделей порождает естественное стремление отыскать простые алгебраические отображения, которые обладали бы свойствами странных аттракторов. Такое отображение, сконструированное Хеноном, имеет довольно простой вид:

Это — сжимающее отображение, поскольку

Т может быть представлено в виде произведения трех более простых отображений

где

Эти отображения соответствуют изгибу, сжатию и повороту соответственно (см. рис. 5.19). Именно такое сочетание преобразований обеспечивает возможность растяжений и складываний, которые требуются для возникновения хаотического поведения. Следует также отметить, что рассматриваемое отображение, как и его сохраняющий площадь близнец (4.2.11), обратимо. Обратное отображение имеет вид

Таким образом, некоторая конечная точка, в принципе, может быть однозначно «возвращена во времени» обратно в исходное положение

Рис. 5.19. Последовательность преобразований, составляющих отображение Хенона. Элемент площади (а) изгибается (б), сжимается (в) и поворачивается (г)

Как показывают численные расчеты, в пределах достаточно большой области фазовой плоскости все траектории «оседают» на многообразии довольно сложного вида — «аттракторе Хенона». Вне пределов этой области траектории уходят на бесконечность. С помощью удачно подобранной последовательности рисунков, выполненных компьютером (рис. 5.20), Хенон [26] ясно показал, что этот аттрактор имеет структуру типа канторова множества. Спектр мощности отображения Хенона оказался весьма зашумленным. (Хотя аттрактор Хенона безусловно является странным, он все же не попадает в очень ограниченную категорию аттракторов аксиомы А.)

(кликните для просмотра скана)

Упомянем в заключение элегантный вариант отображения Хенона, называемый отображением Лози:

Странный аттрактор, порождаемый этим отображением, состоит из отрезков прямых линий. Можно доказать, что он относится к типу аксиомы А.