2.1.б. Свойства Лагранжиана
Выбрав лагранжиан системы (взаимодействующих) частиц, можно вывести для этой системы ряд интересных свойств. Рассмотрим прежде всего полную производную лагранжиана по времени:
Таким образом,
В случае замкнутых систем (т. е. систем, не взаимодействующих ни с какой внешней силой) 
в силу однородности времени не зависит от него явным образом и, следовательно, «энергия»
является постоянной движения, т. е. рассматриваемая система консервативна (см. главу 1). Далее, с учетом определения 
легко находим, что
Исходя из 
можно определить обобщенные силы:
и, что более важно для дальнейшего изложения, обобщенные импульсы:
для которых равенство 
справедливо лишь в случае декартовой системы координат. Используя эти два определения, уравнения Лагранжа можно представить в виде
Понятно, что если какая-либо обобщенная координата, например, 
не входит в лагранжиан, то соответствующая обобщенная сила 
следовательно (из (2.1.16)), соответствующий обобщенный импульс 
Отсутствующие координаты иногда называют циклическими — ясно, что циклические координаты облегчают интегрирование уравнений движения. С учетом данного выше определения 
энергия системы (2.1.12) может быть представлена в виде
Если система замкнута и пространство однородно, то суммарный эффект действия сил на все частицы должен быть равен нулю, т. е. 
(в третьем законе Ньютона это утверждение для двух тел сформулировано так: «действие и противодействие равны по величине и противоположны по направлению»). В этом случае
мы находим из (2.1.16), что 
суммарное смещение системы частиц постоянно. Мы видим, таким образом, что исходя из таких фундаментальных принципов, как однородность пространства и времени (для замкнутых систем), можно вывести основные законы сохранения, такие как закон сохранения энергии и закон сохранения суммарного импульса. Приведенные примеры представляют собой частные случаи глубокого и общего результата, известного как теорема Нетер, которая утверждает, что для каждой группы преобразований, оставляющих лагранжиан неизменным, существует связанная с ней сохраняющаяся величина; например, инвариантность по отношению к трансляции во времени и в пространстве приводит к сохранению энергии и (линейного) импульса соответственно. Другой простой пример — система, инвариантная по отношению к поворотам. Ее момент количества движения (угловой момент) сохраняется.
