Глава 7. Нелинейные эволюционные уравнения и солитоны

7.1. История вопроса

Основным лейтмотивом предшествующих глав была способность нелинейных систем, обладающих небольшим числом степеней свободы, проявлять очень сложное поведение. Естественно задаться вопросом, как изменится поведение этих систем в пределе бесконечно большого числа степеней свободы. Степени свободы (или моды) рассматриваются в этом пределе как континуум, который характеризуется не дискретным индексом а непрерывной переменной х. Таким образом, описание системы посредством конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений (о. д. у.), в которых время выступает в качестве единственной независимой переменной, заменяется описанием в терминах дифференциальных уравнений в частных производных (у. ч. п.) с двумя независимыми переменными При этом если даже небольшое число нелинейных о. д. у. может проявлять сложное поведение, то в случае континуума таких уравнений (т. е. нелинейного у. ч. п.) следует ожидать, казалось бы, лишь еще более сложное поведение. Во многих случаях это действительно так, и нелинейные у. ч. п. проявляют хаос как во времени, так и в пространстве. Но наряду с этим существует также важный класс нелинейных у. ч. п., характеризуемых выраженно регулярным поведением, которые в действительности интегрируемы. Свойства таких систем и поведение их решений положили начало разделу математической физики, который считается одним из наиболее значительных достижений послевоенных лет.

7.1.а. Наблюдения Рассела

История солитона началась более 150 лет назад со знаменитых теперь наблюдений, сделанных шотландским инженером Джоном Скоттом Расселом во время поездки верхом вдоль берега канала Юнион в окрестности Эдинбурга. В его докладе было сказано следующее:

«Я наблюдал за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась. Но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у носа судна в состоянии сильного волнения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от одного до полутора футов. Его высота постепенно

уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 года мне впервые довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал уединенной волной трансляции...»

Рассел провел много наблюдений за уединенными волнами и пришел к заключению, что их форма действительно устойчива, а скорость распространения в канале неизменной глубины выражается соотношением

где амплитуда волны, глубина канала в отсутствие волны и гравитационная постоянная.

Результаты Рассела противоречили взглядам того времени, согласно которым такая волна не могла быть устойчивой. Королевский астроном сэр Джон Гершель охарактеризовал ее как «просто отсеченную половину обычной волны». В споре принял также участие Эйри, построивший теорию волн на мелкой воде, согласно которой такие волны неустойчивы. Противоречие было разрешено в 1895 г. Кортвегом и де Фризом, которые вывели уравнение, описывающее слабо нелинейные волны на мелкой воде,

В этом уравнении где поверхностное натяжение жидкости плотности Было найдено, что это уравнение имеет решения в виде уединенной волны устойчивой формы. После этой работы Кортвега и де Фриза проблема была исчерпана, и к уравнению (7.1.2) обратились вновь лишь в начале 1960-х годов в связи с некоторыми задачами физики плазмы.

Отметим здесь, что изменение масштабов и переход к новой функции:

приводит (7.1.2) к виду (штрихи опущены)