4.7.б. Перемешивание

Хаотическое поведение связывается с экспоненциальным разбеганием соседних траекторий и, таким образом, с положительными показателями Ляпунова. В этом случае малый по площади элемент будет подвергаться значительным искажениям — что приводит к понятию перемешивания. Простой системой, для которой наблюдается перемешивание, является знаменитое отображение Арнольда (линейный автоморфизм единичного тора), которое представляет собой не что иное как линейное сохраняющее площадь преобразование

Как видно из рис. 4.30, для значительного искажения элемента поверхности достаточно всего лишь двух итераций отображения. (4.7.2) отличается от (4.7.1) наличием компонента сдвига, что приводит в сочетании с периодичностью тора к растяжению и перемешиванию. В противоположность параллельному переносу по тору в случае (4.7.1) малый по площади элемент быстро превращается в длинную тонкую нить. Ясно, что перемешивание предполагает эргодичность, но эргодичность не предполагает перемешивания.

Собственные значения легко могут быть вычислены и равны

причем так как преобразование сохраняет площадь. Два действительных собственных значения означают экспоненциальное растяжение и сжатие соответственно. Растяжение происходит в направлении собственного вектора

а сжатие — в направлении

В случае этого простого линейного отображения легко убедиться, что (положительный) показатель Ляпунова равен

Рис. 4.30. (а) Две итерации отображения Арнольда. (Воспроизведено, с разрешения, из [1])

Отображение имеет много неподвижных точек, определяемых уравнением

где к и I — целые числа, необходимые для того, чтобы итерации не выходили за пределы единичного квадрата. Очевидно, что имеет единственную неподвижную точку Неподвижными точками являются все гиперболические, с собственными значениями Несложно также определить гомоклинные и гетероклинные точки

отображения Арнольда. Например, неподвижная точка (0,0) отображения имеет устойчивое и неустойчивое многообразия, обвивающие тор по иррациональным направлениям, задаваемым векторами соответственно, и, таким образом, пересекающие друг друга (но не самих себя) бесконечное число раз. То же самое можно повторить для устойчивых и неустойчивых многообразий неподвижных точек отображения но в этом случае эти многообразия будут также пересекать и неподвижной точки отображения что приведет к появлению и бесконечного множества гетероклинных точек (см. рис. 4.31).

Рис. 4.30. (б) Перемешивание на торе: перемещающийся по тору малый по площади элемент претерпевает трансляцию и растяжение

Рис. 4.31. Схематическое изображение гомоклинных и гетероклинных точек отображения Арнольда. четыре неподвижных точки отображения неподвижная точка отображения Гомоклинные точки образованы пересечениями многообразий относящихся к гетероклинные точки образованы пересечениями многообразия относящегося к и многообразия относящегося к