6.5. Регулярные и нерегулярные спектры: свойства, связанные с собственными векторами

В этом разделе мы рассмотрим различные свойства волновых функций регулярных и нерегулярных состояний.

6.5.а. Волновые функции регулярных связанных состояний

В случае регулярных квазиклассических состояний волновая функция определяется выражением (6.3.8). Таким образом, для состояния с квантовым номером записывается (без учета определенных фазовых множителей) в виде

где определяет в фазовом пространстве тор с действием Определяемая из (6.5.1) плотность вероятности будет содержать колебательные перекрестные члены, соответствующие взаимному влиянию различных ветвей Эти члены можно исключить посредством локального усреднения по некоторой ширине которая при стремится к нулю медленнее, чем Для заданной функции это ведет к «грубозернистости» вида

где

Соответственно, грубозернистая плотность вероятности записывается как

Геометрически это соответствует проекции тора, связанного с состоянием, на координатную плоскость (см. раздел 6.3). В качестве простого примера рассмотрим одномерное ограниченное движение, для которого

Такая грубозернистая плотность вероятности схематически представленная на рис. 6.1 (б), имеет в классических точках возврата сингулярности, которые соответствуют, как было показано в предыдущем разделе, каустикам. Вместе с этим, такой вид задает в пределе огибающую осцилляций истинной квантовой плотности вероятности (в классически разрешенной области).

Все сказанное до сих пор относится только к волновым функциям регулярных состояний. Определить в рамках квазиклассического приближения вид волновой функции для нерегулярных состояний гораздо труднее. Трудность состоит в том,

что в случае нерегулярных траекторий как многозначная функция имеет уже не конечное, а бесконечное число ветвей. (То же самое может быть сформулировано в виде утверждения, что в хаотическом режиме не существует ни одного глобального решения уравнения Гамильтона-Якоби.)