5.1.в. Гамильтонова дигрессия
При нулевой вязкости уравнение Навье-Стокса преобразуется в уравнение Эйлера:
Граничное условие определяется требованием, чтобы жидкость не могла проникать через границу 
где 
соответствует нормальной производной к границе (предполагаемой здесь стационарной). Заметим, что это условие отличается от условия (5.1.1 в) для уравнения Навье-Стокса, в котором скорость (а не ее нормальная производная) равна нулю на 
.
В случае двух измерений уравнения Эйлера, записанные для компонент скорости 
(
имеют вид
Уравнение неразрывности (условие несжимаемости) записывается в виде
Из этого условия следует, как уже отмечалось в разделе 4.8, существование такого полного дифференциала, что
Это позволяет записать
Функция 
называется функцией тока.
Важной величиной в гидродинамике является завихренность:
Применение к уравнению Эйлера операции ротора уничтожает содержащий давление член и приводит к уравнению
Однако в случае двух измерений завихренность становится просто скалярным полем,
Уравнение Эйлера в этом случае приобретает вид
где
Общепринятым в гидродинамике является представление завихренности 
в виде суммы «точечных вихрей»:
где 
«напряженность» или циркуляция точечного вихря, расположенного в 
Легко показать, что
Уравнения движения 
точечного вихря в поле остальных 
точечных вихрей имеют вид
где 
Если ввести функцию
то уравнения движения могут быть записаны в гамильтоновой форме:
Интегрируема ли такая система? Для интегрируемости требуется 
интеграл движения. В случае трех вихрей можно отыскать интегралы, связанные с инвариантностью вращений и трансляций (теорема Нетер), и таким образом свести систему
к заведомо интегрируемому виду. В случае четырех точечных вихрей можно прийти к гамильтониану с двумя степенями свободы. Его численный анализ (поверхности сечения, показателей Ляпунова и т. д.) показывает, что система неинтегрируема и характеризуется сочетанием регулярного и нерегулярного движений (см., например, обзор [13]). Весьма интересно, что отсюда вовсе не следует, что система остается неинтегрируемой в пределе 
для которого формальные свойства уравнений (5.1.16) мало изучены.
