1.2.в. Периодическая структура эллиптических функций

Двойная периодичность (т.е. существование как действительного, так и мнимого периодов) эллиптических функций позволяет предположить, что они имеют нетривиальную структуру в комплексной плоскости, т. е. если рассматривать их как функции независимой комплексной переменной. Тригонометрические функции с единственным периодом, такие как имеют в комплексной -плоскости очень простую структуру. Они представляют собой целые функции, т.е. не имеют сингулярностей в конечной комплексной плоскости. В противоположность им эллиптические функции, как Якоби, так и Вейерштрасса, мероморфны, т. е. имеют в комплексной плоскости (изолированные) полюса. Эти полюса образуют регулярную структуру, напоминающую решетку, которая отражает двойную периодичность рассматриваемых функций. Может оказаться, что поведение этих функций в комплексной плоскости (т. е. их аналитическая структура) представляет собой фундаментальный фактор, определяющий возможность «проинтегрировать» соответствующие дифференциальные уравнения. Этот глубокий и до сих пор до конца не разрешенный вопрос подробнее обсуждается в главе 8.

Рис. 1.1. Отклонение классического маятника на угол в в поле силы тяжести