1.4.г. Предельные циклы

Предельный цикл представляет собой другой тип поведения, который не может быть выявлен с помощью линейного анализа. Общеизвестным примером системы, проявляющей такое поведение, является осциллятор Ван-дер-Поля:

Линейный анализ устойчивости, проведенный в приближении первого порядка,

указывает на существование неподвижной точки при которая в случае должна представлять собой неустойчивый узел, а в случае неустойчивый фокус. Рассмотрим второй из этих случаев. Поскольку с ростом х и у нелинейный член в (1.4.236) начинает постепенно доминировать (так как можно предположить затухание обратно по направлению к началу координат. Таким образом, вдали от начала координат траектории движутся от периферии к центру. Непрерывность требует существования (по крайней мере) одного решения, расположенного посередине. Этим решением является предельный цикл, который представляет собой замкнутую траекторию, содержащую внутри себя начало координат. Решения, начинающиеся как внутри, так и вне этой траектории, притягиваются ею, но ни при каких условиях не могут ее пересечь. Точное решение уравнения движения (1.4.22) неизвестно. Так что хотя на существование предельного цикла указывают простые физические рассуждения (нелинейный член можно рассматривать как зависящую от координат силу трения, изменяющую знак при точная форма этого предельного цикла может быть определена только численно.

Аналитически существование предельного цикла может быть установлено, например, в случае системы

для которой линейный анализ устойчивости предсказывает существование неустойчивого фокуса с вращением по часовой стрелки вокруг начала координат. Уравнения (1.4.24) могут быть решены таким же способом, как и (1.4.19), т. е. в полярных координатах. Введя обозначение приходим к уравнению движения для

Это уравнение, относящееся к типу Риккати, подстановкой полностью линеаризуется: Решение этого уравнения

произвольные постоянные) указывает на стремление решений (1.4.24) к предельному циклу радиуса 1 при Линейный анализ устойчивости систем порядка выше второго будет рассмотрен в следующих разделах. Здесь могут возникать весьма непростые ситуации, поскольку (локальные) потоки вдоль независимых направлений уже не ограничены плоскостью, как в двумерном случае, и могут переплетаться чрезвычайно сложным образом.