7.4.в. Двухсолитонное решение

Обычно ОПР для уравнения КдФ иллюстрируется на примере потенциалов вида где V — постоянная. Мы, в частности, будем рассматривать потенциал

Соответствующее уравнение Шрёдингера,

может быть решено точно. (Подробности можно найти в прекрасной книге Существует две собственные функции связанных состояний:

Преимущество потенциалов типа состоит в том, что для них е. отражения нет. Таким образом,

В случае безотражательных потенциалов уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко можно решить, представив ядро в виде

Воспользовавшись таким разделением, можно показать, что

Далее, используя (7.4.29), решение можно (в несколько этапов) привести к виду

Отметим, что Проанализируем свойства этого решения, следуя [3]. Для этого введем переменные Выражая аргументы членов (7.4.35), содержащих через получаем

Фиксируя, далее, перейдем к пределу и отбросим экспоненциально затухающие части членов, содержащих

где Аналогично, выражая (7.4.35) в терминах получаем

и после перехода к пределу

Так же можно показать, что в пределе если фиксировано либо либо ведет себя следующим образом:

Проведенный анализ позволяет объяснить поведение, наблюдавшееся Забуским и Крускалом [18]. Решение описывает взаимодействие двух уединенных бегущих волн (ср. с обсуждением решений в виде бегущих волн в предыдущем разделе). При более глубокая волна расположена слева от более мелкой волны (рис. 7.2). По мере того как более глубокая волна догоняет более мелкую, и при они сливаются, образуя исходный потенциал Замечательно, что при они вновь разделяются; при этом более глубокая волна движется впереди более мелкой. В пределе решение снова представляет собой просто сумму двух отдельных уединенных волн. Единственным результатом взаимодействия волн является небольшой сдвиг фазы