Глава 2. Динамика гамильтоновых систем

2.1. Формализм Лагранжа

В этом разделе мы обсудим некоторые основные положения формулировки классической механики, предложенной Лагранжем. Это обеспечит необходимую основу для изучения формализма Гамильтона, что в свою очередь создаст естественную систему представлений, в рамках которой могут быть рассмотрены идеи интегрируемости и неинтегрируемости для широкого класса механических систем. Многие из дифференциальных уравнений, рассматривавшихся в главе 1, описывают движение частицы в некотором силовом поле (представляемом в виде градиента функции потенциальной энергии) и, таким образом, представляют собой примеры уравнений движения Ньютона. После пионерских работ Ньютона были найдены более общие и элегантные формулировки «законов» механики. Привлекая такие основополагающие понятия, как однородность пространства и времени, и используя почти магический вариационный принцип («принцип Гамильтона»), можно (что очень соблазнительно) получить обобщенные уравнения движения; в результате «законы» представляются результатом чисто дедуктивного вывода из «абсолютных» принципов. Вместе с тем, не следует забывать, что все эти результаты в определенной мере основаны на экспериментальных результатах и человеческом опыте — они прекрасно выдержали проверку временем. (Например, не было никаких оснований сомневаться в том, что законы Ньютона могут описывать микроскопические системы, до тех пор, пока появившиеся спектроскопические данные не указали на необходимость создания квантовой механики).

2.1.а. Функция Лагранжа и принцип Гамильтона

Опыт показывает, что если механическую систему представлять в виде набора взаимодействующих друг с другом частиц, для которых определена зависимость силы взаимодействия от расстояния, то «состояние системы» полностью задается множеством положений и скоростей всех частиц. Система координат не обязательно должна быть декартовой, как в работах Ньютона, описание может быть сделано более эффективным за счет использования некоторого набора «обобщенных координат» и «обобщенных скоростей» (Использование обобщенных координат освобождает от необходимости явного представления голономных связей системы).

Если система перемещается из положения, соответствующего некоторому моменту времени и задаваемого набором координат в положение соответствующее некоторому другому моменту

времени то истинное движение можно определить с помощью принципа наименьшего действия Гамильтона. Этот принцип требует, чтобы интеграл от функции, называемой лагранжианом, между начальным и конечным моментами времени принимал наименьшее возможное значение. Мы пока будем рассматривать лагранжиан как «черный ящик», утверждая только, что он может некоторым образом зависеть лишь от тех переменных, которые определяют состояние системы (т. е. от обобщенных координат, скоростей и времени), а именно

Знаменитый «принцип наименьшего действия» или «принцип Гамильтона» требует, чтобы интеграл действия

был минимален. Временно опустим индексы при и предположим, что имеется единственная степень свободы. Положения отвечающие начальному и конечному моментам времени предполагаются фиксированными. (Если конечным точкам тоже позволить изменяться со временем, то это повлечет за собой другие важные последствия.) Может существовать много различных путей соединяющих и и цель состоит в отыскании того из них, который обеспечивает экстремум (что как правило означает минимум, хотя в некоторых случаях это может быть и максимум) действия (2.1.2). Эта цель достигается путем анализа «первой вариации», при котором вдоль пути вводятся небольшие отклонения, обращающиеся на обоих концах в ноль (т. е. Замечательная особенность этой процедуры состоит в том, что мы рассматриваем результат вариации пути, который сам пока не известен. Первая вариация действия определяется, таким образом, соотношением

Разлагая подынтегральное выражение в ряд и сохраняя члены первого порядка, получаем вариацию

и

Замена интегрирование второго члена по частям дает

Благодаря условию, наложенному на конечные точки, первый член в правой части обращается в ноль. Требованием экстремума является условие оно выполняется лишь в том случае, если подынтегральное выражение обращается в ноль, т. е.

В случае степеней свободы каждая переменная должна быть проварьирована независимо Окончательным результатом является набор уравнений

которые и представляют собой знаменитые уравнения Лагранжа. Если для данной механической системы известен (правильный!) вид лагранжиана, то система уравнений второго порядка (2.1.7) представляет собой уравнения движения системы и при заданных начальных условиях полностью определяет эволюцию системы.

При определении корректного вида лагранжиана интересно понять, сколь далеко можно зайти в своем выборе, если исходить только из самых общих принципов. В прекрасном учебнике по механике [4] Ландау и Лифшиц убедительно показали, что по крайней мере в случае свободной частицы из однородности времени и изотропности пространства следует, что лагранжиан должен быть пропорционален только квадрату (обобщенных) скоростей. Если в качестве константы пропорциональности взять половину массы частицы, то лагранжиан системы невзаимодействующих частиц будет представлять собой в точности их полную кинетическую энергию в прямолинейной системе координат:

Помимо этого, для частиц, взаимодействующих по некоторому закону, определяющему изменение силы с расстоянием и содержащемуся в «функции потенциальной энергии» приходится привлекать «экспериментальные» факты; в этом случае, цитируя Ландау и Лифшица [4], «опыт показал, что» «правильный» лагранжиан имеет вид

Функция потенциальной энергии такова, что сила, действующая на каждую из частиц, определяется соотношением

(Это определяет потенциальную энергию, поскольку обеспечивает равенство нулю работы, выполняемой системой при движении по замкнутому контуру в конфигурационном (т. е. координатном) пространстве.) В случае потенциала, не зависящего от скоростей, уравнения Лагранжа (2.1.7) приобретают вид

и в декартовой системе координат в точности совпадают с уравнениями Ньютона.