7.2.е. Инвариантность Галилея

Преобразование Гарднера задает алгоритм расчета бесконечного множества сохраняющихся плотностей для уравнения КдФ. Как подчеркивалось в главе 2, существование интеграла — а в данном случае сохраняющейся плотности — означает существование некоторой специальной симметрии или инвариантности. Уравнение КдФ, таким образом, должно обладать бесконечным набором таких инвариантов и, следовательно, весьма нестандартными свойствами.

Один из основных инвариантов уравнения инвариант Галилея (инвариантность относительно трансляции). Если произвести замену переменных:

соответствующую переходу в систему отсчета, движущуюся вправо, уравнение КдФ приобретает вид

т. е. оно инвариантно относительно такого преобразования. Напротив, уравнение такой инвариантностью, как легко убедиться, не обладает. Вместе с тем, если указанную замену переменных произвести для преобразования Миуры (7.2.29), то получим, положив преобразование Гарднера (7.2.32).