Главная > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ПРИЛОЖЕНИЕ 4.1. Поверхность сечения как симплектическое отображение

Характерное свойство поверхностей сечения консервативных систем с двумя степенями свободы, состоящее в сохранении площади, наиболее элегантно представляется на геометрическом языке, введенном в приложении 2.2.

Из инвариантности -формы Пуанкаре-Картана следует (см. уравнение (2.П.29))

где две произвольные замкнутые кривые, охватывающие один и тот же пучок траекторий в фазовом пространстве. Если обе кривые соответствуют сечениям постоянного времени, для кривой для кривой (которую теперь мы обозначим через вклад члена равен нулю, и мы приходим к результату (4.1.9) (или к уравнению а именно

Ограничимся теперь двумя степенями свободы и рассмотрим -форму «начальную» кривую определим как множество начальных условий в плоскости при и фиксированной энергии Таким образом, С представляет собой кривую, состоящую из точек поверхности сечения. Под действием гамильтонова потока эти точки будут перемещаться, образуя «пучок» траекторий в рассмотренном фазовом пространстве . В случае ограниченного движения этот пучок в конечном итоге снова пересечет поверхность сечения при Но при этом нет никаких оснований полагать, что для всех точек пучка это произойдет в одно и то же время. Поэтому, хотя повторные пересечения пучка с поверхностью сечения образуют некоторую замкнутую кривую, скажем 6, это не будет кривая «постоянного времени» типа фигурировавшей в Следовательно, мы должны рассмотреть инвариант Пуанкаре-Картана (4.П.1), а именно

При этом отметим, что для семейства траекторий на данной энергетической поверхности

Помимо этого, поскольку кривые определены в плоскостях, для которых значение у фиксировано

Таким образом, остается соотношение

смысл которого как раз и состоит в том, что площадь на поверхности сечения сохраняется под действием гамильтонова потока. Это дает нам в случае системы с двумя степенями свободы основание говорить о поверхности сечения как о сохраняющем площадь отображении.

Если имеется более чем 2 степени свободы, то общая идея остается той же самой, но «поверхность сечения» в этом случае представляет собой -мерную поверхность, погруженную в -мерную энергетическую поверхность (консервативного гамильтониана с степенями свободы). Если «поверхность» задается при то обобщается в виде

По аналогии с вклад членов при интегрировании как по так и по равен нулю. В результате получаем

В этом случае интегралы соответствуют уже не просто площади, а площадям проекций на различные -плоскости (см. (2.П.50)):

где различные проекции различные проекции Мы убеждаемся, таким образом, что поверхность сечения является симплектическим отображением.

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru