ПРИЛОЖЕНИЕ 2.2. Геометрические представления в классической механике

Прежде всего установим различие между ковариантньши и контравариантными векторами. Рассмотрим произвольный вектор каждая из компонент которого является функцией координат т.е. Рассмотрим далее переход к новому набору координат Вектор а называется контравариантным, если он преобразуется по правилу

где представляют собой выраженные в терминах новых переменных у. Контравариантность вектора обычно подчеркивают, используя верхние индексы: Мы, однако, везде будем использовать только нижние индексы. Полезный пример контравариантного вектора — бесконечно малое расстояние между двумя соседними точками Эти бесконечно малые величины преобразуются (по правилу дифференцирования сложной функции) как

В качестве другого примера рассмотрим следующий оператор (важная роль которого скоро станет понятна):

где Переход к координатам в приводит к соотношению

где

т. е. величины преобразуются как компоненты контравариантного вектора.

Напротив, вектор называется ковариантным, если при замене координат у он преобразуется по правилу

Примером ковариантного вектора является градиент скалярного поля. Так, если то легко видеть, что

Показав, что обобщенные импульсы могут быть представлены как градиент действия (уравнение 2.1.20), мы убеждаемся, что они являются ковариантными векторами. (Обычно при записи компонент ковариантных векторов используются нижние индексы в противоположность верхним индексам в случае контравариантных векторов.)

Оператор, введенный в представляет собой пример касательного вектора. Результатом его действия на некоторую скалярную функцию в заданной точке является производная по направлению от в этой точке:

Рассмотрим теперь некоторую кривую параметризованную с помощью переменной которая проходит через точку X при Если имеет координатное представление то производная по направлению от любой величины вдоль в точке X определяется касательным вектором

где

Очевидно, что если представляет собой траекторию системы где мы рассматриваем в качестве времени, то , являются не чем иным, как компонентами скорости Отсюда следует контравариантностъ векторов скорости.

Через данную точку X может проходить много различных траекторий, и им соответствует целый набор возможных касательных векторов. Такой набор векторов в точке X образует векторное пространство, называемое касательным пространством в точке Оно обозначается через где многообразие, т. е. -мерное «пространство», занимаемое системой. Касательное расслоение представляет собой совокупность всех возможных касательных пространств во всех возможных точках — в Оно обозначается через

В формализме Лагранжа состояние механической системы задается с помощью координат и скоростей При этом в любой точке в любой момент времени мы имеем касательный вектор

и, таким образом, состояние системы может быть определено посредством точки в касательном расслоении. Лагранжиан при этом может рассматриваться как отображение на скалярном поле, т. е. (где пространство действительных чисел).

В гамильтоновом формализме описание строится в терминах координат и сопряженных импульсов последние преобразуются как ковариантные векторы. Соответствующее -мерное фазовое пространство является симплектическим многообразием и обладает рядом особых свойств. Наиболее важное свойство гамильтоновых систем — сохранение фазового объема под действием (гамильтоново) потока. Для его геометрической интерпретации требуется язык дифференциальных форм.

Дифференциальная -форма, обозначаемая здесь символом представляет собой (в случае двух изменений) величину вида

где компоненты ковариантного вектора. Рассмотрим, что произойдет с при замене переменных Используя для преобразования контравариантных величин получаем

где

Это обычное правило ковариантных преобразований. Таким образом, из следует, что -форма инвариантна по отношению к замене переменных.

В гамильтоновой механике часто возникает величина

которая, как легко видеть, является примером -формы. В случае «расширенного» фазового пространства, включающего в качестве независимой переменной время, а в качестве сопряженной переменной величину также можно построить -форму:

Она известна как -форма Пуанкаре-Картана. Как показано в разделе такая форма инвариантна по отношению к каноническому преобразованию, т. е.

где полный дифференциал, который является производящей функцией, осуществляющей каноническое преобразование между переменными Одно из фундаментальных свойств -формы состоит в том, что интеграл по замкнутому контуру окружающему пучок траекторий,

принимает одно и то же значение для любого контура, охватывающему данный пучок траекторий:

В частности, выбор может определить конкретный набор начальных условий при и затем можно проследить за «эволюцией» под действием гамильтонова потока. К моменту времени кривая трансформируется в (по-прежнему замкнутую) кривую В расширенном фазовом пространстве обеим кривым будут отвечать замкнутые кривые, лежащие в различных «плоскостях» Мы можем записать в виде

но поскольку интегрирование проводится в слоях расширенного фазового пространства, отвечающих постоянным значениям времени, следовательно, сводится к

-форму иногда называют относительным интегральным инвариантом Пуанкаре.

Особую роль в гамильтоновой механике играют дифференциальные -формы. Такие -формы могут быть представлены как «произведение» -форм, но в данном случае это будет внешнее произведение. От обычного оно отличает тем, что удовлетворяет правилам «антисимметрии»:

и

где символ означает внешнее произведение. Внешнее произведение функций представляет собой дифференциалы, удовлетворяющие условиям

и, следовательно,

Рассмотрим далее внешнее произведение -форм Следуя указанным правилам, получаем

Произведение представляет собой пример дифференциальной -формы; мы обозначим его через

Замена переменных дает соотношения

и

и, соответственно, -форма записывается в виде

где является, очевидно, якобианом преобразования. Если речь идет о каноническом преобразовании одного набора сопряженных переменных в другой набор то

в следствие равенства единице якобиана. Такое сохранение -формы при каноническом преобразовании является фундаментальным свойством гамильтоновых систем. Это свойство допускает обобщение на любое число степеней свободы:

По аналогии с тем, как -форма представляется в виде внешнего произведения -форм, можно записать внешнее произведение -форм. Так, внешнее произведение с собой дает (в соответствии с приведенными выше правилами) -форму:

Этот процесс конструирования внешних произведений может быть продолжен (например, вплоть до тех пор, пока не будет записано внешнее произведение содержащее единственный член:

Оно представляет собой не что иное как элемент объема -мерного фазового пространства. Все дифференциальные формы, начиная с и заканчивая инвариантны по отношению к каноническому преобразованию, причем инвариантность утверждается теоремой Лиувилля.

2-формы получаются также из -форм посредством внешнего дифференцирования.

Внешняя производная -формы задается соотношением

в котором нетрудно узнать -форму. В качестве конкретного примера рассмотрим двумерную -форму Для нее

Полученный результат ассоциируется с теоремой Грина о преобразовании интеграла по замкнутому контуру в двойной интеграл по области (заключенной внутри На плоскости соотношение принимает вид (теорема Стокса)

На языке дифференциальных форм оно элегантно записывается как

где -форма представляет собой -форму

В случае гамильтониана с одной степенью свободы мы можем записать в виде

где замкнутый контур на плоскости в расширенном фазовом пространстве Интерпретация полученного результата не представляет труда — он означает просто, что интеграл по замкнутому контуру в плоскости равен двойному интегралу по области А, заключенной внутри Соотношение может быть записано для систем с любым числом степеней свободы. Используя внешнее дифференцирование, получаем

но интерпретация интегрирования в этом случае не столь очевидна. Мы приходим к соотношению

в котором представляют собой набор областей, полученных при проектировании замкнутого контура (расположенного в сечении расширенного фазового пространства) на каждую из плоскостей Принимая во внимание мы видим, что эта сумма площадей проекций сохраняется под действием гамильтонова потока, т. е. что

где проекции, соответствующие контуру Эти соображения можно распространить и на высшие формы Действительно, все форм сохраняются под действием фазового потока (или другого канонического преобразования). Эти «сохраняющиеся» величины называют инвариантами Пуанкаре. Все соответствующие «законы сохранения» вытекают из соотношения таким образом, это свойство -формы лежит в основе фундаментального определения канонических преобразований. Как уже отмечалось, содержание теоремы Лиувилля с этой точки зрения составляет утверждение о сохранении формы

т. e. о сохранении фазового объема под действием гамильтонова потока или в результате канонического преобразования, а именно

результат «эволюции» исходного объема У, а в объем в пространстве соответствующий объему Ум в пространстве

Список литературы

(см. скан)