4.2.б. Отображения на плоскости
Можно также записать отображения в декартовых координатах
Они будут сохранять площадь при условии, что
Если 
являются полиномами, отображение называется целое кремоново преобразование. Свойства этого отображения зависят от вида 
Если они могут быть записаны как линейные функции, например
то отображение представляет собой просто вращение на угол а. Другой пример простого линейного преобразования
соответствует линейному сдвигу параллельно оси 
Вариант нелинейного возмущения (4.2.9)
составил предмет прекрасной работы Хенона [15]. (Еще одна работа, которую обязательно следует прочесть!) Ее основной результат заключается в том, что обсуждаемое отображение может быть представлено как «композиция» двух более простых отображений, соответствующих нелинейному сдвигу и простому повороту (рис. 4.9). Таким образом, можно записать
где
Важно подчеркнуть, что отображение (4.2.11) обратимо. Обратное преобразование 
имеет вид
Рис. 4.9. Изменение области под воздействием нелинейного сдвига 
и последующего поворота 
соответствующих преобразованию Хенона
Рис. 4.10. (а) Типичная фазовая плоскость отображения Хенона при 
Рис. 4.10. (б) Размывание области в окрестности самой правой гиперболической точки. (Воспроизведено, с разрешения, из [15])
Таким образом, некоторая «конечная» точка траектории может быть единственным способом «обращена по времени» в исходную точку 
Изучать отображения Хенона (4.2.11) численно довольно легко. При заданном угле поворота а можно рассчитать — даже с помощью карманного калькулятора — последовательные приближения для множества различных начальных условий 
Некоторые типичные результаты, полученные Хеноном [15], представлены на рис. 4.10. Они прекрасно иллюстрируют все характерные детали поверхности сечения системы типа Хенона-Хейлеса с семействами гладких кривых, цепочками островов и хаотическими траекториями. Особый интерес представляет структура на рис. 4.10(a), аналогичная сепаратрисе. В этом масштабе пересечения выглядят почти гладкими; однако с увеличением масштаба проявляется (как видно на знаменитом теперь рис. 4.10(6)) невероятно богатая и тонкая структура из цепочек островов, рассыпанных в «океане» хаоса. В последующих разделах мы объясним (попытаемся объяснить) происхождение этой великолепно сложной картины.
