ПРИЛОЖЕНИЕ 6.1. Метод стационарной фазы
Метод стационарной фазы служит для вычисления интегралов с осциллирующим подынтегральным выражением
где 
пределы интегрирования, 
малый параметр (в квазиклассических задачах — постоянная Планка). В пределе 
подынтегральное выражение будет быстро осциллировать, и большинство колебаний будут взаимно гасить друг друга (т. е. будет иметь место гасящая интерференция). Основной вклад в интеграл будут давать точки, в которых фаза стационарна, т. е. определяемые условием
где штрих означает дифференцирование по х. Точки 
называются точками стационарности фазы, и мы пока будем предполагать, что они (1) отстоят достаточно далеко друг от друга и (2) отстоят достаточно далеко от конечных точек.
В окрестности каждой изолированной точки стационарности фазы 
отображается в квадратичную форму:
где 
переменная, аналогичная х, и где
и
При условии 
пределы интефирования раздвигаются до 
и интеграл 
приобретает вид
Следующий шаг состоит в том, чтобы медленно меняющуюся часть подынтегрального выражения 
разложить в ряд 
окрестности точки стационарности фазы 
(Отметим, что исходя из 
точке стационарности фазы 
соответствует значение 
В качестве первого приближения мы сохраним только основной член:
так как 
Производную можно вычислить, дифференцируя отображение 
Вычисление первой производной дает
но поскольку 
приходится повторить дифференцирование, что приводит к соотношению
Второе слагаемое в левой части 
также равно нулю, и мы получаем
Таким образом, интеграл 
приобретает вид
Интефал в этом выражении представляет собой просто интефал Гаусса
и мы окончательно получаем «приближение стационарной фазы»
В случае нескольких изолированных точек стационарности фазы 
каждая из них вносит в 
вклад, определяемый соотношением 
окончательный результат представляет собой просто сумму всех таких вкладов.
Наиболее важное усовершенствование приближения стационарной фазы связано с вычислением интеграла 
в случае неизолированных точек стационарности. Это составляет предмет равномерных приближений. Будем теперь считать, что функция 
зависит также от некоторого параметра 
и как функция 
(локально) ведет себя так, как показано на рис. 6.12. При 
функция 
имеет четко разделенные точки стационарности 
каждая из которых дает вклад в 
определяемый соотношением 
По мере приближения 
точки 
сближаются и при 
сливаются в одну точку 
В этой точке нулю равны и 
а соотношение 
теряет смысл. В области 
(действительных) точек стационарности фазы не существует. Понятно, что простое отображение 
утрачивает справедливость, и требуется более общее отображение, «описывающее» обсуждаемое поведение. Такое отображение имеет вид
где 
соответствует 
соответствует 
связано с изолированными точками стационарности фазы 
Подробное обсуждение дальнейших выкладок выходит за рамки данной книги. Окончательным результатом является приближение, в котором интеграл Гаусса 
заменяется функцией Эйри, в результате чего решение ведет себя равномерно во всем интервале изменения 
е. проходит через точку 
без расходимостей и в пределе 
сводится к результатам метода стационарной фазы для изолированных точек 
Рис. 6.12. Точки стационарности фазы 
разделенные при 
при 
сливаются в одну точку 
При 
действительных точек стационарности фазы нет
Если сливается большее число точек стационарности фазы, в одном или нескольких измерениях, то требуются и более общие, чем 
отображения. Оказалось, что они могут быть систематизированы с помощью теоремы Тома о сингулярностях градиентных отображений — более известной как теория катастроф.
