1.2. Интегрирование нелинейных уравнений второго порядка

Нелинейность дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы (колебания, химические реакции, рост популяций и т.д.), — скорее правило, чем исключение. Достаточно широкий класс нелинейных уравнений второго порядка может быть представлен в виде

где полином, рациональная или трансцендентная функция от х. В случае полинома, например,

мы легко можем записать уравнение в квадратурах

где интеграл движения. Задача заключается в вычислении интеграла в правой части (1.2.3). Если нелинейность не превышает задача может быть решена в «явном виде», и решение (1.2.1) представимо в терминах так называемых эллиптических функций. Эллиптические функции представляют собой естественное обобщение обычных тригонометрических функций и т.д.). Эллиптические интегралы, соответственно, являются обобщением обратных тригонометрических функций и т.д.). Следуя простой логике, не так уж трудно понять, каким образом могут возникать такие функции. Для линейной задачи (1.1.1) ключом к решению являлось вычисление интеграла (1.1.8), который представлялся в виде функции Если интеграл включает более высокую степень х (скажем, и т.д.), то вполне естественно предположить, что соответствующий интеграл должен представлять собой функцию, обратную к более сложной периодической функции. Теория эллиптических функций была развита независимо Абелем и Якоби. Якоби изложил свои взгляды в фундаментальном труде «Fundamenta Nova Theoriae

Functionum Ellipticarum» (1829). Гаусс (проявивший чрезвычайную осторожность при публикации результатов — замечательное отличие по сравнению с тенденцией, складывающейся в современной науке), вероятно, получил некоторые из этих результатов раньше — ситуация, типичная для того времени. Хотя эллиптические функции позволяют разрешить лишь относительно небольшой класс уравнений вида (1.2.1), в него входят (после соответствующего преобразования) и важные системы, такие, как маятник; уже одно это дает основание немного пополнить наши знания в этой области. Тема чрезвычайно обширна, поэтому мы лишь кратко обсудим некоторые основные идеи. (Дополнительные технические детали приведены в приложении 1.1.)

Рассмотрим какое-нибудь общее уравнение второго порядка вида

которое может, например, соответствовать уравнению движения частицы под действием силовой функции, разложенной по смещению в ряд до третьего порядка. Как мы скоро увидим, решение этого уравнения может быть представлено в терминах эллиптических функций Якоби. Если степень х в правой части (1.2.4) не превышает двух, решение может быть представлено в терминах эллиптических функций Вейерштрасса. (Между этими двумя типами функций, как легко понять, существуют различные взаимосвязи.) Более того, если правая часть (1.2.4) имеет другой вид и включает определенные рациональные функции от и простые трансцендентные функции типа (возникающие в очень важном уравнении для маятника), интеграл также может быть представлен в терминах тех или иных эллиптических функций.