7.2.в. Автомодельные решения
С помощью так называемого автомодельного преобразования (преобразования подобия) для уравнения (7.1.3) может быть также найден другой тип решений. При масштабных преобразованиях переменных 
и непосредственная подстановка в уравнение КдФ демонстрирует инвариантность этого уравнения по отношению к масштабному преобразованию при 
и 
Параметр а может быть выбран произвольным образом, например, 
В этом случае уравнение (7.1.3) инвариантно по отношению к масштабному преобразованию
Кроме того, комбинации переменных
также масштабно инвариантны. Эти результаты подсказывают замену переменной
где множитель 3 выбран из соображений удобства. С учетом того, что
и
уравнение КдФ преобразуется к виду
Другой тип автомодельного преобразования можно получить, положив
и
Это приводит (после одного интегрирования) к уравнению
где с — постоянная интегрирования. Это специальное обыкновенное дифференциальное уравнение, известное как уравнение Пенлеве первого типа. Уравнение (7.2.17) связано с другим из этих специальных уравнений, а именно, с уравнением Пенлеве второго типа. Значение появления этих специальных обыкновенных дифференциальных уравнений при автомодельных преобразованиях уравнения КдФ будет обсуждаться в главе 8.
