6.6.б. Квантовое отображение

Зная гамильтониан (6.6.1), соответствующий отображению (6.6.2), мы можем представить это отображение в терминах «квантовой механики». Идея соетоит в отыскании соответствующего квантового оператора переводящего состояние в «момент времени» в состояние в «момент времени»

В координатном представлении это может быть записано следующим образом:

где мы использовали стандартное тождество Подчеркнем еще раз, что нижние индексы относятся к «моментам времени», которые соответствуют итерациям отображения (6.6.2), и не являются квантовыми числами. Оператор соответствующий (6.6.1), получается по обычным правилам:

где соответственно операторы координат и импульсов (в координатном пространстве Легко видеть, что эволюционный оператор вычисленный для одного периода имеет вид

и, так же, как классическое отображение, не зависит от 7 (просто проинтегрируйте зависящее от времени уравнение Шрёдингера (6.1.2) в пределах от до Отметим, что операторы кинетической и потенциальной энергий действуют в (6.6.8) раздельно, и благодаря этому выражение для удобно факторизуется в виде (6.6.9). В координатном представлении матричные элементы вычисляются непосредственно:

Заметим, что используя (6.6.4) и полагая можно также записать в виде

т.е. в виде пропагатора (функции Грина) от «состояния» представленного в виде произведения амплитуды и фазового фактора; последний задается классическим действием вдоль пути от Матричный элемент (6.6.10) входит в выражение (6.6.7) интегрального эволюционного уравнения

Не составляет труда проверить, что в пределе классическое отображение (6.6.2) сводится к уравнениям Гамильтона описывающим непрерывную эволюцию системы, которая определяется гамильтонианом получающимся из (6.6.1) усреднением по времени:

Аналогично «квантовое отображение» сводится в пределе к стандартному зависящему от времени уравнению Шрёдингера (6.1.2), оператор Гамильтона которого

соответствует (6.6.13). Шаг по времени можно рассматривать в качестве параметра возмущения: в пределе движение сводится к интегрируемому гамильтониану с одной степенью свободы, и фазовая плоскость покрывается инвариантными кривыми; при динамика определяется дискретными отображениями (6.6.2), и с ростом все большее и большее число инвариантных кривых разрушается, а фазовые плоскости приобретают общую структуру регулярного и хаотического движений.