Глава 4. Хаос в гамильтоновых системах и сохраняющие площадь отображения

4.1. Поверхность сечения

В предыдущих главах мы достаточно много говорили об эволюции траекторий в (многомерном) фазовом пространстве. Но при этом, если не считать обсуждавшихся в первой главе рисунков, изображающих фазовую плоскость систем с одной степенью свободы, практически ничего не было сказано о том, как такое движение можно изобразить наглядно. Понятно, что основные сложности связаны с размерностью. Для двумерной (гамильтоновой) системы фазовое пространство четырехмерно и, в консервативном случае, энергетическая поверхность трехмерна. Проследить движение даже в случае такой трехмерной поверхности сложно — особенно когда имеешь дело с двумерным листом бумаги, на котором оно должно быть изображено. С решением этой проблемы связан один из наиболее ценных методов, известный как метод поверхности сечения, который был развит Пуанкаре [9] и Биркгофом [3]. Он особенно удобен для консервативных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, хотя приложим и в случае большего числа измерений. С точки зрения развития предмета нелинейной динамики этот метод представляет собой не что иное, как один из первых — и до сих пор не утративший своего значения — численный расчет поверхности сечения для неинтегрируемых гамильтонианов, которые начали появляться в литературе почти одновременно с КАМ-теоремой. Такой компьютерный анализ сыграл важную роль как в расширении теоретических представлений в этой области, так и в ускорении их развития.

4.1.а. Поверхности сечения для гамильтонианов с двумя степенями свободы

Рассмотрим гамильтониан консервативной системы с двумя степенями свободы

Изучение движения траекторий этой системы может быть сведено к двумерной задаче следующим образом. Берем на данной энергетической поверхности «срез» фазового пространства, соответствующий некоторой заданной точке, скажем . Далее, следуем вдоль определенной траектории (полученной путем численного интегрирования гамильтоновых уравнений с использованием компьютера), отмечая соответствующие значения всякий раз, когда она проходит через точку Если потенциал задает ограниченное движение, траектория вновь и вновь будет проходить через выбранный «срез» фазового пространства. Таким образом, как показано на рис. 4.1, может быть построено «отображение», состоящее из последовательных значений Оно представляет собой поверхность сечения;

точка на поверхности сечения определяет состояние системы с точностью до знака. Это следует из того, что при данном имеем

Обычно поверхность сечения строится таким образом, что имеет определенный знак, например

Рис. 4.1. Построение поверхности сечения

Если начальные условия для данной траектории (т.е. набор значений обозначить на поверхности сечения точкой последовательные пересечения образуют некоторое «отображение» движения в фазовой плоскости. Это важное понятие, детально мы обсудим его несколько позднее.

Здесь, однако, отметим, что промежутки времени между последовательными пересечениями поверхности сечения (точки не обязательно должны быть равными. Если начальные условия выбраны так, что соответствующая траектория лежит на торе, то последовательность точек ляжет на некоторую гладкую кривую, определяемую пересечением этого тора с поверхностью сечения (см. рис. 4.2). Если отношение частот у выбранного тора иррационально, единственная траектория, как мы знаем, эргодически покрывает его. На поверхности сечения это проявляется в том, что последовательность точек X, (постепенно) образует гладкую кривую. С другой стороны, при рациональном отношении частот траектория замкнута и число точек пересечения X, будет конечным причем в этом случае определяется рациональностью отношения

В предыдущей главе говорилось, что согласно КАМ-теореме большинство торов в случае слабо возмущенного неинтегрируемого гамильтониана сохраняется. Об остальных торах мы говорили, что они в некотором смысле «разрушаются». Соответствующие траектории могут теперь свободно блуждать в более широких областях фазового пространства, что проявляется на поверхности сечения в виде «распыления» точек, которое выглядит случайным и через которое нельзя провести гладкую кривую. Конечно, трудно объективно оценить на глаз степень «случайного распыления», но картина, возникающая при достаточно длительном движении траектории, как правило, явно отличается от гладкой кривой. Можно даже надеяться обнаружить в конце концов на поверхности сечения полностью заполненные (малые) области. Помимо этого, существуют важные численные тесты (численный расчет

Рис. 4.2. Последовательные пересечения траектории на торе с поверхностью сечения

спектра мощности и показателей Ляпунова), описываемые ниже в разделе 4.5, которые позволяют объективно различать «регулярные» траектории, лежащие на гладких кривых поверхности сечения, и «нерегулярные» (или хаотические) траектории, которые приводят к возникновению случайной картины. Во всяком случае поверхность сечения является необычайно ценным инструментом, позволяющим непосредственно получать картину фазового пространства с чрезвычайно сложной структурой в случае неинтегрируемых систем, когда расчеты проводятся для большого числа начальных условий на одной и той же энергетической поверхности.