4.7.г. Иерархия неупорядоченности

Из приведенных выше примеров видно, что различные типы динамических систем характеризуются большей или меньшей степенью неупорядоченности. Приблизительная классификация этих типов может быть представлена в виде следующей иерархии.

(1) Эргодические системы. Это наиболее «слабый» тип поведения, при котором фазовое среднее совпадает со средним по времени:

где означает усреднение по ансамблю на рассматриваемом многообразии. В качестве простых примеров могут служить иррациональный поток на торе или, в случае одномерных систем, поток на энергетической поверхности (см. раздел 2.5). Намомним, что -мерный гамильтониан общего вида не эргодичен на всей энергетической поверхности, так как она как правило разделена (сохраняющимися) торами.

(2) Смешанные системы. Это, как было показано, гораздо более «сильный» свойство, чем эргодичность. В противоположность (4.7.11) перемешивание предполагает, что

т. e. для достижения «равновесия» не требуется никакого усреднения по времени. Можно показать, что спектр смешанных систем непрерывен, тогда как спектр эргодических систем дискретен. (Существует еще промежуточное состояние, называемое слабым перемешиванием, достаточное для непрерывности спектра.)

(3) К-системы. Это системы с положительной энтропией Колмогорова. В этом случае экспоненциальное разбегание связных окрестностей траекторий должно характеризоваться положительной средней скоростью.

(4) С-системы (системы Аносова). Это глобально неустойчивые системы, в которых показатель Ляпунова каждой траектории положителен. Примером С-системы служит отображение Арнольда.

(5) Системы Бернулли. Движение в этих системах столь же случайно, как и результат бросания монеты (пример — преобразование пекаря).

Каждому последующему типу систем в этой иерархии присущи свойства предыдущих. Так, например, отображение Арнольда, относящееся к С-системам, обладает также свойствами системы (в этом случае энтропия Колмогорова равна характеризуется перемешиванием, что, в свою очередь, предполагает эргодичность.