4.8.б. Модельная система

Мы хотели бы отыскать реально существующую гидродинамическую систему, которая была бы двумерна, нестационарна, и для которой в явном виде известна функция тока — что позволило бы проводить численное моделирование и сопоставление с лабораторными экспериментами. Несмотря на кажущуюся сложность этой задачи, такая система может быть сконструирована; недавно она стала предметом подробного изучения [30]. Такая система во многом близка к конструкции, называемой цилиндрическим подшипником Она состоит из двух помещенных друг в друга цилиндров, пространство между которыми заполнено вязкой жидкостью (обычно густым смазочным маслом). Оба цилиндра могут независимо вращаться относительно своих осей, которые как правило не совпадают (т. е. цилиндры эксцентричны). Если глубина жидкости достаточно велика по сравнению с радиусом (внешнего) цилиндра, систему можно приближенно считать двумерной. При достаточно большой вязкости жидкости и достаточно малых скоростях вращения цилиндров (обеспечивающих очень малые значения так называемого числа Рейнольдса) уравнения движения жидкости могут быть решены в приближении Стокса, т. е.

где двумерное поле скоростей, кинематическая вязкость, давление. Граничные условия таковы, что компонента поля скоростей, тангенциальная к поверхностям внутреннего и внешнего цилиндров, должна равняться соответствующей компоненте скорости вращения того или другого цилиндра. Если цилиндры (один или оба) вращаются с постоянной (угловой) скоростью, (4.8.7) представляет собой стационарную задачу. Более того, избавляясь от градиента с помощью операции ротора ( и учитывая, что может быть сведено к бигармоническому уравнению

Известно, что в случае определенной геометрии обсуждаемой системы это уравнение допускает точное решение в биполярных координатах. Типичные результаты приведены на рис. 4.33 для случаев, когда вращается только внутренний или только внешний цилиндр. На плоскости изображены кривые постоянных значений линии тока в терминах гидродинамики, инвариантные торы в терминах динамики. В случае этих стационарных решений частицы жидкости движутся вдоль соответствующих линий тока, и их поведение строго регулярно.

Теперь нам нужно внести в систему некоторую (контролируемую) нестационарность. Этого можно достичь, модулируя вращение цилиндров. Простейший способ заключается в том, чтобы вращать цилиндры попеременно. Решение (4.8.8) в этом случае представляет собой кусочную линейную комбинацию решений, соответствующих вращениям каждого из цилиндров в отдельности. Пока вращается один из цилиндров, частицы жидкости движутся вдоль своих линий тока, а когда происходит переключение вращения цилиндров, они перепрыгивают (в стоксовском потоке практически мгновенно) на другие линии тока. Именно этот механизм может привести к возникновению хаоса по мере эволюции частиц в трехмерном фазовом пространстве За движением удобно следить, построив с помощью стробоскопических «моментальных снимков» фазовой плоскости поверхность сечения; временной интервал определяется суммой времен вращения обоих цилиндров (см. рис. 4.6). Такая типичная поверхность сечения, получаемая при численном решении уравнений (4.8.5), показана на рис. 4.34; наблюдается сочетание регулярного и нерегулярного движений.

Рис. 4.33. Типичные линии тока в случае вращения (а) только внутреннего цилиндра, (б) только внешнего цилиндра. Кривые являются точными решениями уравнения (4.8.8) с соответствующими граничными условиями. Штриховкой показан внутренний цилиндр

Рис. 4.34. Типичная поверхность сечения, рассчитанная по уравнению (4.8.5). (Воспроизведено, с разрешения, из [30])