3.5. Резюме по КАМ-теореме и ее вариантам

КАМ-теорема может быть обобщена для большого числа систем при соответствующих условиях вырожденности и периодичности.

3.5.а. Автономные системы

Для гамильтониана

условие невырожденности

гарантирует сохранение большинства инвариантных торов при малых возмущениях, .

В дополнение к этому условие «изоэнергетической невырожденности», а именно

гарантирует существование на каждой поверхности энергетического уровня множества инвариантных торов, мера дополнения которого мала. При условие изоэнергетической невырожденности обеспечивает также устойчивость переменных действия. Это означает, что при достаточно малых они остаются достаточно близки к исходным значениям на протяжении всего времени.

Идея использования условия изоэнергетической невырожденности состоит в том, чтобы убедиться, что величина отношения частот на торе изменяется плавно при переходе от тора к тору. Рассмотрим соотношения

Их можно объединить и представить в эквивалентной форме

В случае системы с двумя степенями свободы мы можем разместить двумерную плоскость таким образом по отношению к трехмерному набору энергетических уровней, чтобы получить поперечное сечение двумерного семейства торов, как показано на рис. 3.2. На этом рисунке условие изоэнергетической невырожденности обеспечивает плавное изменение отношения частот при переходе от окружности к окружности. При возмущении частоты сохраняющихся торов зависят как правило от величины но если при этом удовлетворяется условие (3.5.2), то при изменении отношения частот будут сохраняться.

В случае иррационального отношения данная исходная точка никогда не возвратится, в точности, в тоже самое положение. Если, с другой стороны, а рационально — а при выполнении нашего условия изоэнергетической невырожденности такие значения будут распределены среди иррациональных — начальная точка вернется в свое исходное положение. Именно эти «рациональные кривые» «разрушаются» при возмущении, и их судьба будет подробно описана в следующей главе.