3.2. Каноническая теория возмущений

В канонической теории возмущений используются особые свойства переменных действие—угол. В наибольшей степени возможности этой теории проявляются в случае автономных систем с одной степенью свободы. По мере перехода к системам с двумя и более степенями свободы постепенно проявляются значительные трудности, связанные с решением многочастичной задачи. Именно эти трудности, как мы увидим, являются в некотором смысле «затравкой» хаотического поведения. До недавнего времени они считались практически непреодолимыми. Для начала мы ограничимся системами с одной степенью свободы. Подробное их обсуждение облегчит нам изучение многочастичной задачи в разделе 3.3.

Прежде всего систему нужно представить как функцию переменных действие-угол для системы нулевого порядка:

Эти переменные действие—угол нулевого порядка все еще представляют собой истинные канонические переменные; и при выражении возмущающего члена в терминах этих переменных канонические уравнения движения для (3.2.1) имеют простой вид:

Хотя в (3.2.1) мы представили возмущение как поправку порядка , может быть и так, что возмущающие силы сами представимы в виде ряда по степеням

и т. д. Основная идея канонической теории возмущений состоит в отыскании для возмущенной системы такого нового набора переменных действие—угол для которого возможно каноническое преобразование к новому гамильтониану, зависящему только от , т. е. Если удается этого достичь, то (3.2.3) становится полностью интегрируемой системой, уравнения движения которой интегрируются тривиально.

3.2.а. Ряды возмущений для уравнения Гамильтона-Якоби

Уравнения Гамильтона для системы нулевого порядка:

в случае возмущенной системы приобретают вид:

Цель состоит в отыскании производящей функции где — старая угловая переменная (координата), новая переменная действия (импульс) (ср. производящую функцию типа в разделе 2.3), которая осуществляла бы требуемые преобразования посредством стандартных соотношений

S также может быть разложена в ряд по степеням :

где тождественная производящая функция (см. уравнение Используя соотношения (3.2.6), получаем не зависящее от времени уравнение Гамильтона-Якоби,

Более того, «новый» гамильтониан можно разложить в ряд по степеням

Следующий шаг состоит в том, чтобы разложение в ряд (3.2.7) использовать для разложения каждого из членов в правой части (3.2.8) в ряд Тэйлора. Так, например, содержащий член разлагается следующим образом:

При разложении до членов уравнение Гамильтона-Якоби (3.2.8) приобретает вид

Приравнивание степеней приводит к системе уравнений