6.4.г. Распределение расстояний между уровнями

Берри отметил, что для более полного выявления различий между регулярными и нерегулярными спектрами важно изучить энергетические спектры в различных масштабах При наибольших разрешениях идентифицируются отдельные собственные значения. Для регулярных состояний это может быть сделано с помощью правил ЭБК, но для нерегулярных состояний такой возможности, как говорилось выше, не существует. На больших масштабах, напротив, спектр может быть охарактеризован лишь в терминах средней плотности состояний задаваемой формулой Томаса-Ферми

которое представляет собой меру Лиувилля классического фазового пространства при значении энергии отнесенному к статистическому объему «занимаемому» квантовым состоянием. Понятно, что в этом самом грубом масштабе не существует способов различать проявления регулярного и нерегулярного классического движений. При промежуточных степенях разрешения различные группы и распределения уровней энергии дают больше информации об описываемом движении.

Одной из характеристик спектров мощности, наиболее активно изучаемой на этих промежуточных масштабах, является статистика распределений расстояний между уровнями. Эти распределения представляют собой свойства спектра в масштабах порядка среднего расстояния между уровнями, т. е., как видно из (6.4.5), порядка или Обзор этих вопросов был дан в 1987 году Бэрри в [13]. Наиболее важной величиной является распределение расстояний между близко расположенными соседними уровнями, характеризуемое функцией вероятности которая задает вероятность того, что расстояние между двумя соседними (по энергии) уровнями заключено в интервале между Эта величина широко использовалась при изучении статистических свойств энергетических уровней ядра, характеризуемых очень высокой плотностью состояний. Полагая, что моделью энергетических уровней ядра могут служить собственные значения случайных матриц, элементы которых определяются из гауссова ансамбля, Вигнер [23] высказал замечательное предположение, что

В дальнейшем было показано, что этот результат почти идеально согласуется с точным решением модели (вывод которого — сложнейшая задача математической физики; см. [19]). Экспериментальные данные по энергетическим уровням ядра вполне подтвердили предположение Вигнера. Важно отметить, что при

что подразумевает некоторое «отталкивание» или «избегание пересечения» уровней. Кроме того (ядерные) энергетические уровни могут принадлежать различным классам симметрии, тогда как с помощью распределения Вигнера (6.4.6) каждый такой класс можно описать только в отдельности. Поэтому при смешении распределений, принадлежащих различным классам, возникает распределение Пуассона

которое соответствует совершенно случайной, несогласованной организации уровней.

Для того, чтобы изучать связанные с расстоянием между уровнями статистические свойства собственных значений единственного гамильтониана, можно создать «ансамбль», перейдя к пределу таким образом, что плотность состояний при данном значении энергии стремится к бесконечности. Таким образом, в малой энергетической зоне можно получить значимые статистические выборки расстояний между уровнями.

Для полностью интегрируемых систем (т. е. таких систем, все состояния которых могут быть проквантованы по правилам ЭБК) было доказано [14], что является распределением Пуассона (6.4.7) при условии невырожденности гамильтониана

Поэтому наиболее вероятное расстояние между уровнями равно нулю, что подразумевает сильное группирование уровней. Это не должно удивлять. Регулярные состояния имеют полный набор «хороших» квантовых чисел и могут, следовательно, образовывать сильно коррелированные последовательности по квантовому числу: Именно такие последовательности могут приводить к строгим правилам отбора Персиваля. Вместе с тем, с точки зрения расстояний по энергии все эти последовательности должны перемешиваться, и следует ожидать, что корреляция будет невелика. В случаях вырожденных гамильтонианов, таких, как системы гармонических осцилляторов, получены различные распределения, которые зависят от тонких теоретико-числовых свойств фундаментальных частот.

Для неинтегрируемых систем высказывалось множество предположений относительно вида основанных на том, что «неупорядоченность» нерегулярного спектра скорее всего может, в определенном смысле, найти свое выражение в распределении, близком к вигнеровскому. Было проведено множество численных исследований, и все они указывали на переход от распределения Пуассона в интегрируемых режимах к некоторому распределению вигнеровского типа, стремящемуся к нулю при в хаотических режимах. Многие исследователи приводили аргументы в пользу утверждения, что

где — некоторый показатель степени. Бэрри [11] привел доводы в пользу того, что где число параметров системы, которые надо варьировать, чтобы достичь вырождения энергетических уровней. Идея о взаимосвязи между квазиклассическим нерегулярным спектром и спектром собственных значений, определяемых различными ансамблями матриц, весьма привлекательна, но требуется дать строгое ее обоснование. Не ясно также, возможно ли экспериментально определять распределения расстояний между уровнями с точностью, достаточной для однозначного решения вопроса о регулярности или нерегулярности спектра.