8.3.в. Система Лоренца

Перейдем к рассмотрению негамильтоновой динамической системы (8.1.2) и покажем, что в этом случае свойство Пенлеве также применимо для установления

интегрируемых случаев. Для анализа ведущего члена разложения положим

и легко находим, что

Анализ резонансов показывает, что резонансы имеют место при

Таким образом, в случае системы Лоренца ведущие порядки и резонансы не зависят от параметров системы. Используя подстановку

находим рекуррентные соотношения

При

При соответственно

Детерминант матрицы в левой части обращается в ноль, что соответствует появлению резонанса при данном порядке. Умножение на нулевой вектор дает условие совместности

которое удовлетворяется, если

В случаях анализ становится более сложным; окончательным результатом является условие совместности при которое имеет вид

Подставляя в явном виде, получаем условие совместности в терминах параметров системы В, а и Заметим при этом, что (8.3.26) содержит члены, включающие произвольные параметры В результате этого условие (8.3.26) распадается на две части — одна группа членов не зависит от произвольного параметра, соответствующего тогда как все члены второй группы умножаются на такой параметр. Для того, чтобы условие (8.3.26) удовлетворялось, обе группы членов должны обращаться в ноль независимо. (Более подробно это рассмотрено в [16]). Оба условия совместности выполняются одновременно при трех наборах значений параметров (исключая тривиальный случай

В первом из этих случаев уравнения интегрируются непосредственно, что является превосходным примером использования зависящих от времени интегралов. Записав уравнения в виде

заметим, что умножение уравнения (8.3.28а) на и последующее вычитание из (8.3.28в) дает

Таким образом, получаем зависящий от времени интеграл

Далее, умножаем (8.3.286) на у, а (8.3.28в) на сумма дает второй интеграл

С помощью этих двух интегралов исходная система третьего порядка может быть сведена к единственной квадратуре. В результате замены переменных

оба интеграла перестают зависеть от времени:

Исключение из этих двух соотношений дает

В новых переменных исходная система уравнений (8.3.28) приобретает вид

Подставляя в (8.3.33а) выражение для в виде (8.3.32), приходим к квадратуре

которая может быть разрешена в терминах эллиптических функций Якоби. Эволюция остальных переменных определяется тривиальным образом из (8.3.32а) и (8.3.326).

Интегрирование уравнений Лоренца в случае других наборов значений параметров (8.3.276) и (8.3.27в) несколько сложнее. Сегур [15] показал, каким образом это может быть сделано в терминах второго и третьего типов уравнений Пенлеве соответственно.

Интересно отметить, что если произвольно, то один зависящий от времени интеграл, а именно

может быть найден всегда. За исключением случаев система не обладает свойством Пенлеве. Но при этом существования приведенного выше интеграла достаточно, чтобы исключить возможность хаотического поведения, даже если он и не обеспечивает полного интегрирования в квадратурах. Аналогичная ситуация возникает и в случае, когда произвольно. При этом соответствующий интеграл имеет вид