2.5.в. Примеры интегрируемых систем

Существует ряд простых примеров многомерных интегрируемых систем. Первый из них — двумерный гармонический осциллятор с гамильтонианом

В качестве двух интегралов движения выступают гамильтонианы (энергии), связанные с каждой из мод:

Эта система удовлетворяет условию (2.5.2), и, следовательно, уравнение Гамильтона-Якоби сепарабельно. Движение состоит из независимых либраций в плоскостях и переменные действия легко определяются в виде

Рис. 2.3. Поверхности постоянной энергии на плоскости для двумерного простого гармонического осциллятора

где контуры и представляют собой круговые пути между точками возврата либраций соответственно. В переменных действия гамильтониан (2.5.17) имеет простой вид

В случае консервативных систем с двумя степенями свободы, подобных рассматриваемой, целесообразно представлять линии постоянной энергии на плоскости (см. рис. 2.3).

Каждая точка на какой-либо из таких линий соответствует определенным значениям и, следовательно, определенному тору в фазовом пространстве.

Другой простой пример двумерной системы — свободная частица с массой в ящике:

Поскольку циклические координаты, постоянными движения являются импульсы (точнее говоря, их модули, так как при столкновении со стенками происходит перемена знака Переменные действия выражаются соотношениями

и, следовательно, преобразованный гамильтониан записывается в виде

Отметим, что эта система нелинейна, так как из уравнений Гамильтона следует зависимость частот от переменных действия:

«Поверхности действия» постоянной энергии показаны на рис. 2.4. Заметим, что вдоль данной поверхности направление нормали (где ) плавно изменяется — это соответствует изменению частот при переходе от тора к тору. (Очевидно, что )

Последний простой пример — движение на плоскости в потенциале центральной силы, описываемое гамильтонианом

Рис. 2.4. Поверхность постоянной энергии для частицы в ящике. Вектор I выделяет конкретный тор на поверхности, а нормаль в этой точке определяет соответствующий вектор частоты. (Здесь ).

где полярные координаты. Обратим внимание, что угловая координата циклическая, и, следовательно, угловой импульс сохраняет свое значение. Таким образом, в качестве двух интегралов движения выступают

Рис. 2.5. Поверхности постоянной энергии для типичного гамильтониана с центральной силой

При вращательном движении замкнутый путь, необходимый для определения соответствующего интеграла действия, отвечает изменению от 0 до Два интеграла действия, таким образом, имеют вид:

где точки возврата колебания. Окончательный вид 12 зависит от В случае типичного потенциала с отталкиванием на малых расстояниях и притяжением на больших можно ожидать, что «поверхности действия» будут иметь вид, схематически изображенный на рис. 2.5.