2.3.в. Производящие функции

Канонические преобразования генерируются с помощью так называемых производящих функций. Один из способов их введения предполагает использование вариационного принципа. Но хотя этот способ довольно элегантен, по-видимому проще, по крайней мере для задач, не зависящих от времени, ввести это понятие более простым способом, привлекая лишь принцип сохранения фазового объема. (Здесь мы следуем подходу Персиваля и Ричардса [6]). Для начала будем считать, что имеется единственная степень свободы и наборы канонических переменных и В этом случае с учетом сохранения фазового объема

где интегрирование проводится по некоторой замкнутой области Согласно теореме Стокса от двойного интеграла можно перейти к интегралу по замкнутому контуру заключающему внутри себя

Теперь предположим, что представляют собой некоторые функции от (т. е. но ничто не мешает выразить эти зависимости в виде смешанных зависимостей между переменными (т. е. где теперь в качестве независимых переменных выступают Это позволяет представить (2.3.14) в виде

Отсюда следует, что подынтегральное выражение должно быть полным дифференциалом некоторой функции — обозначим ее через Можно, таким образом, написать

и, приравнивая коэффициенты при находим, что

Уравнение (2.3.17а) задает взаимосвязь между и которую необходимо обратить (что возможно при условии , чтобы получить зависимость Подстановка ее в (2.3.176) дает вторую из требуемых зависимостей

В разобранном примере в качестве независимых переменных была выбрана пара очевидно, что возможен выбор и других комбинаций (например, , которые перемешивают между собой оба набора. Рассмотрим первую из них, т. е. комбинацию Чтобы получить требуемый результат, запишем тождество

подставляя которое в (2.3.15) и вводя новый дифференциал получаем по аналогии с (2.3.16)

откуда следует пара соотношений

Одним из самых простых примеров производящей функции может служить функция которая, как следует непосредственно из (2.3.20), приводит просто к тождественным преобразованиям:

Из изложенного становится ясно, что существует еще две производящие функции и Для наших целей наибольшее значение имеет функция Обсуждение общих свойств и взаимосвязей между можно найти в любом стандартном учебнике по механике.

Если канонические преобразования не зависят от времени, то переход от «старого» гамильтониана к «новому» гамильтониану представляет собой непосредственную замену переменных:

Используя правило дифференцирования сложных функций и свойство якобиана нетрудно убедиться, что

Подробный вывод первого из этих соотношений выглядит следующим образом:

где во второй строке использовано правило дифференцирования сложной функции, а в третьей — свойство якобиана. Уравнение (2.3.24) получатся аналогичным образом.

В случае преобразований, зависящих от времени (когда, например, гамильтониан преобразуется не столь непосредственно. И хотя требуемое преобразование может быть получено с помощью соображений, использованных выше, более изящным является способ, основанный на вариационном принципе. Идея заключается в том, чтобы (формально) рассмотреть принцип Гамильтона в фазовом пространстве, т.е. записать интеграл действия в терминах гамильтониана и потребовать, чтобы (ср. (2.1.2))

(При этом на самом деле возникает несколько нюансов. Например, единственным требованием при вариации (2.1.2) является обращение в ноль вклада конечных точек в конфигурационном пространстве В случае (2.3.25) также необходимо решить, как поступать с вариациями в конечных точках: оказывается, что соотношение (2.3.25) может быть использовано для вывода уравнений Гамильтона без уточнения этих условий. Более подробно этот довольно тонкий момент разобран у Голдстейна [3].) Для наших целей мы воспользуемся соотношением и представим (2.3.25) в виде

Этот же принцип должен соблюдаться для любой другой пары канонических переменных что позволяет записать

Эти два интеграла могут отличаться, самое большее, на полный дифференциал некоторой функции от канонических переменных и (что обеспечивает обращение в ноль вклада конечных точек в пространствах и соответственно). Обозначив эту полную производную через можем записать

Отсюда легко видеть, что

Если мы определим как производящую функцию, то получим искомое правило для преобразования зависящих от времени гамильтонианов. Завершая наше изложение, рассмотрим в качестве функцию от е. первый тип производящей функции . В этом случае из (2.3.28) очевидным образом следуют, помимо (2.3.29), соотношения

и

Если, с другой стороны, относится ко второму типу (т. е. является функцией то переписывая (2.3.28) в виде

(и полагая где представлена как функция находим

и

а также соотношение (2.3.29). Аналогичные соображения приложимы для всех четырех типов производящих функций, и мы приходим, таким образом, к общему результату:

В следующем разделе будет показано, каким образом построенный канонический формализм может быть использован для интегрирования важного класса гамильтоновых систем в явном виде.